Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб

Построение эпюр нормальных сил и напряжений для брусьев в статически неопределимых задачах

 Статически неопределимыми системами называются системы, для которых реакции связей и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения перемещений, учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Способы составления уравнений перемещений будут рассмотрены на примерах решения различных задач.

 Задача 1.4.1. Задан стальной стержень, заделанный обоими концами и нагруженный силой F = 1000 Н (рис.1.4.1, а). Удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м3, модуль упругости – .

 Требуется построить эпюры нормальных сил и напряжений, а также определить перемещение сечения I – I.


Решение. Выбираем основную систему, которая должна представлять собой статически определимую неизменяемую систему. Основная система получается из заданной системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия неизвестными реакциями. Принятая основная система показана на рис. 1.4.1, б.

 Строим эпюру нормальных сил  для основной системы, для чего определяем нормальные силы в соответствующих сечениях (рис. 1.4.1, б):

 Определяем перемещение нижнего конца стального стержня основной системы:

 Таким образом, если в статически неопределимом брусе (рис. 1.4.1, а) убрать одну нижнюю опору, то нижнее опорное сечение переместится вниз на величину , но этого в реальном брусе не может быть, следовательно, на опоре В должна действовать опорная реакция RB, от которой будет возникать линейная деформация В, равная по величине , но противоположная по знаку:

 Уравнение перемещений будет иметь вид:

 или откуда находим RB = 857,16 Н.

 Опорная реакция RB вызывает в брусе сжатие, следовательно, эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции RB будет иметь вид прямоугольника (рис. 1.4.1, в).

 Для получения эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса (рис. 1.4.1, а) следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. 1.4.1, б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции RB (рис. 1.4.1, в). Сложение эпюр проводим, складывая значения нормальных сил двух эпюр в соответствующих точках (рис.1.4.1, г). После чего строится эпюра нормальных напряжений по формуле (1.2).

 Эпюра нормальных напряжений  показывает, что самое большое сжимающее нормальное напряжение будет в нижнем опорном сечении (КПа), а самое большое растягивающее напряжение – в верхнем опорном сечении (= 154,2 КПа). По эпюре нормальных сил находим опорную реакцию в верхней заделке – RС = 770,84 Н.

 Критерием правильности вычислений является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений, т.е.  или , где  – площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «плюс» (рис.1.4.1,д):

– площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «минус»:

 В нашем случае == 191,6, следовательно, расчет выполнен правильно.

 Определим перемещение сечения I – I (рис. 1.4.1, а), для чего применим метод сечений. Проведем сечение I – I на эпюре нормальных сил (рис.1.4.1, г) и отбросим нижнюю часть эпюры, тогда по оставшейся части эпюры определяем

 Перемещение  можно вычислить, если отбросить верхнюю часть эпюры нормальных сил:

 Получили одно и то же значение перемещений, но с разными знаками, что естественно, так как сечение I – I переместилось вниз, следовательно, верхняя часть бруса увеличила линейные размеры вдоль оси, а нижняя, наоборот уменьшила.

 Задача 1.4.2. Дан прямой стержень кусочно-постоянного сечения, защемленный обеими концами и нагруженный силами F1 =1 кН, F2 =0,5 кН (рис. 1.4.2), а также собственным весом с =78,5 кН/м3. Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений.

 Определить перемещение сечения, находящегося на расстоянии 30 см от верхней опоры, если модуль упругости материала стержня .

 Ответ: RA = 327,2 Н; эпюры нормальных сил и напряжений представлены на рис. 1.1.3, б, в;

.

 Задача 1.4.3. Стержень с постоянной площадью поперечного сечения А нагружен сосредоточенными силами (рис. 1.4.3). Определить перемещения сечений I – I и II – II. Собственный вес стержня в расчете не учитывать.

 Ответ:

 Задача 1.4.4. Дан прямой стальной стержень кусочно-постоянного сечения, для которого а = 0,4 м, а площади поперечных сечений указаны на рис. 1.1.6, а. При учете действия только собственного веса стального стержня эпюры нормальных сил и напряжений имеют вид, показанный на рис. 1.1.6, б, в.

 Как изменятся эпюры нормальных сил и напряжений, если рассмотреть тот же стержень, но с защемленными обоими концами. Проверить правильность вычислений, используя критерий равенства площадей эпюры  с разными знаками. Найти поперечное сечение, где N = 0, = 0.

 Ответ: опорная реакция нижней опоры R = –9,83 кг, следовательно, соответствующие  значения эпюры N, показанной на рис. 1.1.6, б, необходимо сложить с величиной R = –9,83 кг.


Результат представлен на рис. 1.4.4, а. Эпюру  можно построить на основании полученной эпюры N по рис.1.4.4, а. Результат показан на рис.1.4.4, б;

Задача 1.4.5. Определить нормальные напряжения в каждом участке стального стержня квадратного поперечного сечения, находящегося под воздействием сосредоточенных сил, направленных вдоль оси стержня. Размеры сторон квадратного поперечного сечения и величины сосредоточенных сил показаны на рис. 1.4.5. Собственный вес стержня не учитывать, а модуль продольной упругости принять .

 Ответ:  = 22,07 МПа;  = 58,57 МПа; = –12,65 МПа;

  = –68,22 МПа.

 Задача 1.4.6. Определить нормальные напряжения в опорных сечениях стержня постоянного поперечного сечения площадью А, заделанного обоими концами и находящегося под действием собственного веса, направленного вдоль оси стержня,   – удельный вес материала стержня. Длина стержня – l.

 Ответ:

 Задача 1.4.7. Определить нормальное напряжение в бетоне и арматуре железобетонной колонны, квадратное поперечное сечение которой показано на рис. 1.4.6, причем h = 30 см, модуль продольной упругости стали , а бетона тяжелого класса В 30 –

 В поперечном сечении колонны установлены четыре стержня диаметром 20 мм, следовательно, по справочнику принимаем, что общая их расчетная площадь поперечного сечения Аа = 12,56 см2. Площадь поперечного сечения, занимаемого бетоном, определяется как

 Пусть в поперечном сечении колонны действует сжимающая сила N, тогда уравнение равновесия примет вид:

.

 Для определения усилий в арматуре Na и в бетоне Nb одного записанного выше уравнения равновесия недостаточно, так как задача один раз статически неопределима. Составим дополнительное уравнение возможных перемещений (уравнение совместности деформаций). Очевидно, что между арматурой и бетоном существует сцепление, так что абсолютное и относительное удлинения арматуры и бетона равны

 или .

 Учитывая, что , получаем равенство относительных удлинений:

 или , или, что то же самое откуда находим

 Подставляя полученное соотношение в уравнение равновесия при учете, что , , и полагая, что внешняя сосредоточенная сжимающая сила N = 600 , имеем

 откуда находим

 Напряжения имеют знак «минус», так как колонна работает на сжатие.

 Задача 1.4.8. Задан стальной стержень, защемленный одним концом и загруженный силой F = 1000 Н (рис. 1.4.7, а). Удельный вес стали стержня   модуль продольной упругости стали .

 Требуется построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений, учитывая, что до приложения нагрузок имелся зазор между нижним торцом бруса и нижней опорой равный

 Решение. Если нижнюю опору не принимать во внимание и вычислить перемещение нижнего торца стержня  при учете сосредоточенной силы F и собственного веса стержня, то будем иметь (см. задачу 1.4.1). Полученное значение  показывает, что нижний торец бруса в этом случае должен был бы опуститься ниже уровня нижней опоры на величину (рис. 1.4.7, а)


 Но этого быть не может, так как имеется абсолютно жесткая нижняя опора. Следовательно, будет возникать опорная реакция RB, которая будет препятствовать возникновению перемещения нижнего торца стержня, равного :

 Приравняем два значения : 82870/Е = RB680/Е, откуда найдем значение опорной реакции RB = 121,87 Н.

 Эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции RB будет иметь вид, показанный на рис. 1.4.7, б. Для построения окончательной эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса, показанного на рис. 1.4.7, а, следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. 1.4.1, б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции RB (рис. 1.4.7, б). Проведя сложение двух эпюр, получим окончательную эпюру N, показанную на рис. 1.4.7, в, а затем можно переходить к построению эпюры нормальных напряжений (рис. 1.4.7, г).

 Задача 1.4.9. Стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом. После установки стержня в проектное положение был произведен замер величины зазора между нижним сечением бруса и нижней опорой, который оказался равен  = 0,5 мм, длина стержня l = 2 м, объемный вес материала бруса γ = 78,5 кН/м3,   (рис. 1.4.8). После этого стержень был загружен сосредоточенной силой F = 200 кН.

 Определить опорные реакции RB, RC и построить эпюры нормальных сил и напряжений.

 Ответ: RB = –48,503 кН; RC = 151,654 кН.

 Задача 1.4.10. Стержень постоянного поперечного сечения заделан одним концом.  Между нижним концом стержня и нижней жесткой опорой имеется зазор, равный  = 0,5 мм (рис. 1.4.8). После измерения зазора стержень был загружен своим собственным весом с γ = 78,5 кН/м3 и сосредоточенной силой F = 200 кН. Длина стержня l = 2 м, модуль продольной упругости .

 Определить опорные реакции RB, RC и построить эпюры нормальных сил и напряжений.

 Ответ: RB = –48,581 кН; RC = 151,576 кН.

 Задача 1.4.11. Имеются две стальные трубы, одна из которых имеет наружный диаметр D1 = 102 мм и толщину стенки t1 = 3 мм, а другая – D2 = 168 мм, t2 = 4 мм (рис.1.4.9). Используя таблицу II «Приложения», можно определить, что площади их поперечных сечений равны A1 = 9,3 см2; A2 = 20,6 см2. Обе трубы имеют длину l = 20 см. Вставленные осесимметрично друг в друга трубы подвергаются сжатию силой F = 20 т.

 Определить нормальные силы и напряжения, передающиеся на каждую трубу.

 Ответ: = 668,9 кг/см2 = 65,62 МПа; N2 = 13779,3 кг =135,2 кН;

 N1 = 6220,7 кг = 61 кН.

 Задача 1.4.12. Имеются две трубы, одна из которых стальная с наружным диаметром D1 = 102 мм и толщиной стенки t1 = 3 мм (А1 = 9,3 см2), а другая алюминиевая с наружным диаметром D2 = 168 мм и t2 = 4 мм (А2 = 20,6 см2). Вставленные осесимметрично друг в друга трубы подвергаются сжатию силой F = 20 т (рис. 1.4.9).

 Определить нормальные силы и напряжения, передающиеся на каждую трубу. Вычислить укорочение труб (), если их длина l = 20 см, а модуль продольной упругости для алюминия , для стали – Е1 = 2,1·106 кг/см2.

 Ответ: N1 = 11,925 т = 116,98 кН;  = 1282 кг/см2 = 125,76 МПа;

N2 = 8,075 т = 79,21 кН;  = 392 кг/см2 = 38,45 МПа; = 0,12 мм.

 Задача 1.4.13. Дана конструкция, состоящая из трех элементов: двух труб разного диаметра и одного сплошного стержня (рис. 1.4.10). Все три элемента выполнены из разных материалов с модулями продольной упругости Е1, Е2, Е3. Площади поперечных сечений двух труб А2 и А3, а площадь поперечного сечения сплошного стержня А1. Элементы осесимметрично вставлены один в другой и помещены между абсолютно жесткими плитами. Вся стержневая система сжимается силой F.

 Требуется определить нормальные напряжения в поперечных сечениях каждого из элементов конструкции.

 Ответ:


Задача 1.4.14. Дан стальной прямой стержень кусочно-постоянного сечения, защемленный двумя концами и нагруженный силой F = 10 т (рис.1.4.11, а). Один из участков стержня выполнен из двутавра № 16. Материал всей конструкции – сталь с . Построить эпюры нормальных сил и напряжений. Собственный вес элементов конструкции в расчете не учитывать.

 Ответ: эпюры нормальных сил и нормальных напряжений представлены на рис.1.4.11, б.


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов