Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб

ДЕЙСТВИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Динамической считается такая нагрузка, положение, направление и интенсивность которой зависят от времени, так что необходимо учитывать силы инерции тела в результате ее действия. При этом конструкции или их элементы совершают движения, простейшим видом которых являются колебания. Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

Инерционные нагрузки

В случае, когда динамическое нагружение характеризуется наличием ускорений частиц тела, необходимо учитывать возникающие в них силы инерции, направленные в сторону, противоположную направлению ускорения. Такое нагружение испытывают твердые деформируемые тела, например, при неравномерном поступательном или при равномерном вращательном движении. Указанные силы инерции добавляют к внешним нагрузкам, к собственному весу тела, и далее расчет ведется как и для статического нагружения.

Если направление ускорения а движения тела совпадает с направлением ускорения g силы тяжести, то динамические усилия Fd , напряжения σd (или τd), перемещения Δd определяются через соответствующие статические величины Fst, σst (или τst), Δst и динамический коэффициент kd

 kd = 1 + (a/g) , (7.1.1)

т.е. имеют место соотношения

 Fd = Fst kd; σd = σst kd; τd = τst kd; Δd = Δst kd. (7.1.2)

Условие прочности в таком случае имеет вид

 σd, max = σst, max kd = σst, max (1 + (a/g))Radm . (7.1.3)

Задача 7.1.1. Проверить прочность стального каната, с помощью которого поднимается вверх кабина лифта с ускорением а = 5 м/сек2. Масса кабины mк = 500 кг, длина каната l = 50 м, диаметр d = 4 см. Характеристики материала каната: плотность ρ = 7,75 г/см3, допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа (рис. 7.1.1).

Решение. Составив условие динамического равновесия в виде ΣFix = 0, определим наибольшее продольное усилие в канате:

где А – площадь поперечного сечения каната.

Максимальное динамическое напряжение будет равно

= 11,64 МПа.

Условие прочности (7.1.3) для каната выполняется.

Задача 7.1.2. Проверить прочность горизонтального бруса, поднимаемого вверх силой F, приложенной посередине бруса, с ускорением а, равным 2g (рис. 7.1.2, а). Брус квадратного поперечного сечения со стороной а1 = 5 см, длина бруса l = 2 м. Характеристики материала бруса: плотность ρ = 2,8 г/см3 , допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Решение. Рассчитаем интенсивность равномерно распределенной статической нагрузки, вызванной силой веса

 Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки равна

= 206 Н/м.

 Определяем интенсивность суммарной распределенной нагрузки

 Величину сосредоточенной силы F определим из условия динамического равновесия бруса

Эпюры интенсивностей нагрузок q, pi показаны на рис. 7.1.2, б, в, эпюры интенсивности суммарной нагрузки qΣ, поперечной силы Q и изгибающего момента М – на рис. 7.1.3.

Максимальный момент будет

 Осевой момент сопротивления квадратного сечения равен

 Определяем максимальное динамическое напряжение

Условие прочности (7.1.3) для бруса выполняется.

 Задача 7.1.3. Тело, состоящее из двух стальных стержней I и II (рис. 7.1.4), движется вверх с ускорением а = 2g. Поперечное сечение стержня I – квадрат со стороной h = 10 см, поперечное сечение стержня II – круг диаметром d = 2,5 см. Длины l1 = 40 см, lII = 80 см. Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3.

 Определить максимальные нормальные динамические напряжения в каждом стержне.

Ответ: σmax,I = 0,093 МПа;

 σmax,II =2,046 МПа.

 Задача 7.1.4. Стальной канат длиной l = 20 м с прикрепленным к нему грузом весом Р = 5 кН движется вверх с постоянным ускорением а = g (рис. 7.1.5). Рассчитать минимально допустимую (необходимую) площадь поперечного сечения каната, если плотность материала каната ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа.

Ответ: Anec = 3,72 см2.

Задача 7.1.5. Конструкция, состоящая из стержня длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения А = 0,0005 м2, вместе с прикрепленными к нему двумя грузами Р1 = 2 кН и Р2 = 4 кН, расстояние между которыми 1 м, движется вверх с постоянным ускорением а = 2g (рис. 7.1.6). Определить динамическое удлинение стержня, если модуль упругости материала стержня Е = 0,7·105 МПа, а плотность ρ = 2,8 г/см3.

Ответ: Δld = 6,9 мм.

Задача 7.1.6. Определить наибольшие нормальные напряжения от изгиба двутавра № 30 длиной l = 10 м, поднимаемого с помощью канатов, прикрепленных в сечениях С и D, с ускорением а, равным 5 м/с2 (рис. 7.1.7). Стенка двутавра при подъеме расположена вертикально.

 Ответ: σ = 8,58 МПа.

 Задача 7.1.7. Стальной горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 0,6 м равномерно вращается с постоянной угловой скоростью n = 1000 об/мин вокруг вертикальной оси I – I (рис. 7.1.8, а).

Определить наибольшее нормальное растягивающее напряжение в стержне, если плотность его материала ρ = 7,75 г/см3.

Решение. Рассчитаем интенсивность сил инерции в стержне (т.е. силу инерции, отнесенную к единице длины), учитывая, что она равна массе участка единичной длины, умноженной на нормальное ускорение аn , т.е.

,

или, принимая во внимание, что

получаем  Эпюра pi показана на рис. 7.1.8, б.

Продольная растягивающая сила N в сечении, расположенном на расстоянии x от оси вращения, равна площади эпюры рi на участке от сечения до конца стержня, т.е. в рассматриваемой задаче – это площадь трапеции:

 Эпюра N показана на рис. 7.1.8, в. Наибольшее значение продольной силы будет

Определяем наибольшее растягивающее напряжение

 Задача 7.1.8. Дюралюминиевый горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 1 м вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Определить для этого стержня предельное число оборотов в минуту, если плотность материала ρ = 2,8 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: nadm = 5100 об/мин.

Задача 7.1.9. Стержневая система, показанная на рис. 7.1.9, а, вращается с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси АВС. Построить эпюру изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допустимое по прочности число оборотов в минуту, если плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = =160 МПа. Поперечные сечения стержней круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м.

Решение. Определяем интенсивность сил инерции рi в отдельных стержнях.

 Участок АВС. Силы инерции отдельных частиц стержня взаимно уравновешиваются и изгиба не вызывают; таким образом рiАВС = 0;

 Участок СD. Силы инерции направлены вдоль оси стержня. На расстоянии x от оси вращения интенсивность их будет равна

т.е. при x = 0 имеем  а при x = а получаем  Обозначим буквой q интенсивность сил инерции в точке х = а, т.е.

 Участок DЕ. Так как этот участок параллелен оси вращения, то интенсивность сил инерции на нем будет постоянна и равна

рiDE = q = const.

Эпюры инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, показаны на рис. 7.1.9, б.

Далее определяем изгибающие моменты и строим эпюру Ми. На участке DE эпюра Ми – парабола, на участке DC – прямая, параллельная стержню CD, на участке СB – наклонная прямая и на участке АВ также наклонная прямая (рис. 7.1.9, в).

У к а з а н и е. Равнодействующая распределенной вдоль стержня CD инерционной нагрузки pi равна площади эпюры pi, т.е. в данном случае площади треугольника (R = aq/2).

Из эпюры Ми видно, что максимальное значение изгибающего момента будет в сечении В

Запишем условие прочности в виде где осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения подсчитываем по формуле Wz = 0,1d 3.

Таким образом, условие прочности имеет вид

 или

откуда находим допускаемую угловую скорость в рад/сек 


и допускаемое число оборотов в минуту

Задачи 7.1.10–7.1.12. Стержневые системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью Ώ, показаны на рис. 7.1.10–7.1.12. Построить эпюры изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допускаемое число оборотов в минуту.

Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, поперечные сечения стержней – круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м, допускаемое нормальное напряжение Radm = 160 МПа.

Ответы: 7.1.10 – Mmax = 0,75ρАΩ2а3;

7.1.11 – Mmax = ρАΩ2а3; 7.1.12 – Mmax = 3ρАΩ2а3.

7.2. Упругий удар

Под ударом понимают резкое изменение скорости соприкасающихся тел в течение малого отрезка времени. Приближенная («техническая») теория удара базируется на двух основных гипотезах:

а) кинетическая энергия тела, производящего удар, полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому наносится удар (пренебрегают тепловой энергией и др.);

б) распределение напряжений и деформаций по объему тела при ударе принимается таким же, как и при статическом нагружении (пренебрегают волновыми процессами и др.).

Общий прием расчета напряжений и перемещений при ударе состоит в том, что, принимая гипотезу б), проводят статический расчет, а ударное воздействие учитывают динамическим коэффициентом kd , который рассчитывают на основе гипотезы а). Таким образом, динамический коэффициент представляет собой по существу отношение динамических величин (напряжений, перемещений) к соответствующим статическим, т.е.

  или  (7.2.1)

При ударе, вызванном падением некоторого груза с высоты Н на элемент конструкции, величина динамического коэффициента рассчитывается по формуле

 (7.2.2)

где Δst – статическое перемещение сечения элемента конструкции, вызванное силой веса падающего груза.

Так, при продольном ударе, например, от падения груза на конец призматического стержня (рис. 7.2.1)

При изгибном ударе, например, показанном на рис. 7.2.2, а, статический прогиб будет

а для случая, показанного на рис. 7.2.2, б, имеем


Можно показать, что при скручивающем ударе (рис. 7.2.3) получим

 Условие прочности при ударе имеет вид

 σd, max = σst, max kd Radm (7.2.3)

или 

 τd, max = τst, max kdτadm. (7.2.4)

Формула (7.2.2) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают.

При необходимости учета массы тела, испытывающего удар, формула для расчета динамического коэффициента принимает вид

  (7.2.5)

где mг – масса падающего груза, mпр – приведенная масса тела, испытывающего удар, причем

 mпр = αm, (7.2.6)

где m – истинная (распределенная) масса тела; α – коэффициент привидения распределенной массы к точечной. Он определяется путем сравнения кинетической энергии тела с распределенной и с точечной массами. Коэффициент α зависит от вида удара (продольный, изгибный и т.п.) и от характера закрепления концов стержня.

Так, для консольной балки, испытывающей продольный удар (рис. 7.2.4, а), α = 0,33; для шарнирно опертой балки на двух опорах, испытывающей удар посередине (рис. 7.2.4, б), α = 17/350,5; для консольной балки, испытывающей изгибный удар (рис. 7.2.4, в),

 α = 33/1400,235 и т.д.

Задача 7.2.1. Груз весом Р = 2 кН, скользя без трения вдоль стального бруса, падает на приваренную к нему жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса. Площадь поперечного сечения бруса А = 0,0005 м2 (рис. 7.2.5, а), его длина l = 1,8 м, модуль продольной упругости материала бруса Е = =2·105 МПа; высота падения груза Н равна 0,02 м.

Требуется определить максимальное нормальное напряжение в брусе в момент его наибольшей деформации. Собственной массой стального бруса, испытывающего удар, пренебречь.

 Решение. Определим величину Δst (рис. 7.5.2, б)

Рассчитываем динамический коэффициент, используя формулу (7.2.2)

Определяем статическое нормальное напряжение

Находим максимальное динамическое напряжение

σd,max = σst kd = 4·35,2 = 140,8 МПа.

Задача 7.2.2. Груз весом Р = 200 Н падает с высоты Н = 0,3 м посередине на шарнирно опертую двухопорную деревянную балку квадратного поперечного сечения со стороной а = 15 см и длиной l = 3 м. Рассчитать запас прочности балки, если модуль продольной упругости материала балки Е = 104 МПа, а предел прочности при расчете на изгиб RИ = 20 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Решение. Проводим статический расчет, т.е. определяем максимальное напряжение и перемещение в серединном сечении балки при нагружении ее статической сосредоточенной силой Р = 200 Н.

Максимальный изгибающий момент равен

Статический момент площади сечения равен

Определяем максимальное нормальное статическое напряжение

Статическое перемещение посередине балки определяем по известной из теории изгиба формуле

Рассчитываем динамический коэффициент

Находим динамическое напряжение

σd,max = σst,max kd = 0,266·48 = 12,77 МПа.

Запас прочности равен

Задача 7.2.3. Груз весом Р = 1 кН падает с высоты Н = 0,04 м на свободный конец консольной балки прямоугольного сечения 0,120,2 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = 104 МПа. Требуется рассчитать наибольшее нормальное напряжение в момент наибольшей деформации балки. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 15 МПа.

Задача 7.2.4. Найти максимальное нормальное динамическое напряжение в канате подъемника (рис. 7.2.6), спускающего груз Р = 2·104 Н со скоростью v =1 м/с при внезапном торможении наверху. Диаметр каната d = 0,02 м, его длина l = 10 м; собственным весом каната пренебречь. Модуль упругости материала каната Е = 1,6·105 МПа. Жесткость пружины спр = 5·105 Н/м.

У к а з а н и я

1) Использовать известное из физики соотношение v2 = 2gH.

2) Учесть, что полное статическое перемещение будет складываться из двух частей, связанных с деформацией каната и пружины.

Ответ: σd,max = 181 МПа.

Задача 7.2.5. Прямой призматический стержень, закрепленный одним концом (рис. 7.2.7) и имеющий длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2, на свободном конце принимает удар, кинетическая энергия которого равна 25 Н·м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа. 

Определить наибольшее нормальное динамическое напряжение и деформацию. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

У к а з а н и е. Задачу решать, считая, что вся кинетическая энергия удара переходит в потенциальную энергию деформации стержня.

Ответ: σd,max = 100 МПа; Δld,max = 0,00024 м.

Задача 7.2.6. Прямой призматический стержень закреплен одним концом (рис. 7.2.1), имеет длину 0,3 м, площадь поперечного сечения 0,0021 м2.

Вычислить кинетическую энергию удара и вызываемые им напряжения и деформации стержня, если удар происходит вследствие падения на стержень груза Р = 250 Н с высоты Н = 0,1 м. Модуль упругости материала стержня Е = 2,1·105 МПа. Собственной массой стержня, испытывающего удар, пренебречь.

Задачу решить:

а) в предположении, что деформацией стержня можно пренебречь по сравнению с высотой Н, и б) не делая упомянутого допущения и вычислив динамический коэффициент.

Ответ: а) σd,max = 100 МПа, Δld,max = 0,00024 м;

 б) σd,max = 100,1 МПа, Δld,max0,00024 м.

Задача 7.2.7. Найти динамическое нормальное напряжение в стальной двутавровой консольной балке (Iz = 2·10-5 м4, Wz = 2·10-4 м3, Е = 2·105 МПа) длиной 2 м при ударе по ее свободному концу грузом Р = 1,2 кН, сброшенным с высоты Н = 0,08 м. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max = 182 МПа.

Задача 7.2.8. Вычислить, с какой высоты Н1 падает на конец консольной балки груз Р = 1,2 кН, если в защемлении возникает динамическое нормальное напряжение σd,max = 240 МПа. Известно, что при высоте падения Н = 0,08 м и σst,max = 12 МПа динамическое напряжение имеет величину σd,max = 182 МПа. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: Н1 = 0,144 м.

Задача 7.2.9. На конец стальной консольной балки длиной 1 м с высоты Н = 0,05 м падает груз Р = 480 Н.

 Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20 000 см4, осевой момент сопротивления Wz = 200 см3. Модуль упругости материала стержня Е = 2·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке. Собственной массой балки, испытывающей удар, пренебречь.

Ответ: σd,max =120 МПа.

Задача 7.2.10. Груз весом Р = 80 Н, скользя без трения вдоль стального бруса (Е = 2·105 МПа), падает на прикрепленную к брусу жесткую пластину и вызывает ударное растяжение бруса (см. рис. 7.2.5).

Длина бруса l = 2м, площадь поперечного сечения А = 0,0004 м2; плотность материала бруса ρ = 8г/см3, расчетное сопротивление стали бруса Rу= 100 МПа. Требуется определить высоту падения бруса: а) без учета массы стержня и б) с учетом массы стержня.

Ответ: а) Н = 0,25 м; б) Н = 0,315 м.

Задача 7.2.11. Груз весом Р = 400 Н падает с высоты Н = 0,3 м на свободный конец консольной деревянной балки квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 2 м. Модуль упругости материала балки Е = =104 МПа, его плотность ρ = 0,6 г/см3. Требуется определить максимальный динамический прогиб, учитывая собственную массу балки.

Ответ: Δd,max = 0,0076 м.

Задача 7.2.12. На середину двутавровой балки № 20 на двух опорах длиной 2 м падает с высоты Н = 0,04 м груз весом Р = 4 кН. Вычислить наибольшие динамические нормальные напряжения в балке: а) без учета массы балки и б) с учетом массы балки. Принять Е = 2·105 МПа.

Ответ: а) σd, max = 209,5 МПа, б) σd, max = 204,1 МПа.

Задача 7.2.13. На чугунную подставку квадратного поперечного сечения 0,30,3 м и длиной 1,5 м с высоты Н = 0,4 м падает груз Р = 6 кН. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в подставке с учетом ее собственной массы. Модуль продольной упругости материала подставки (чугун) Е = 1,27·105 МПа, плотность чугуна ρ = 7,1 г/см3 (рис. 7.2.8).

Ответ: σd, max = 63,9 МПа

Задача 7.2.14. На конец стальной консольной балки весом Рб = 250 Н и длиной 1 м с высоты 0,05 м падает груз Р = 520 Н. Поперечное сечение балки имеет следующие геометрические характеристики: осевой момент инерции Iz = 20000 см4, осевой момент сопротивления Wz = 200 см3. Модуль продольной упругости материала балки Е = 2,0·105 МПа. Требуется определить наибольшее нормальное динамическое напряжение в балке с учетом ее собственной массы.

Ответ: σd, max = 120 МПа.


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов