УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

 Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr.

6.1. Определение критической силы при упругом продольном изгибе. Формула Эйлера. Формула Ясинского

 Величина критической силы при осевом сжатии стержней в пределах пропорциональности определяется по формуле Эйлера:

  (6.1.1)

где  – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 6.1.1), lef – расчетная длина стойки постоянного сечения, определяемая как

  (6.1.2)

l – геометрическая длина стойки (колонны) или отдельного ее участка.

 Критическое напряжение  определяется по формуле:

 (6.1.3)

– гибкость сжатого стержня, которая находится из выражения

 (6.1.4)

imin =– минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

 Формулы (6.1.1) и (6.1.3) можно применять при условии, что

  (6.1.5)

 Примерные значения предельной гибкости приведены в табл. 6.1.1.

 Таблица 6.1.1

Материал
Малоуглеродистая сталь Чугун Хромомолибденовая сталь Дюралюминий Сосна	100 80 60  51 61

 При гибкости стержня меньше предельной  критическое напряжение определяется по эмпирической формуле Ясинского:

 (6.1.6)

где а, b, c – определяемые экспериментально коэффициенты (табл. 6.1.2).

 Таблица 6.1.2

Материал	Коэффициенты, МПа
	a	b	c
Малоуглеродистая сталь Чугун Хромомолибденовая сталь Дюралюминий Сосна	310 761  1000 380 40	1,14  11,77 5,4  2,185 0,203	0 0,052 0 0 0

 При гибкости  стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности продольного изгиба.

 Задача 6.1.1. Определить критическую нагрузку для сжатого стального стержня, имеющего прямоугольное поперечное сечение 46 см. Концы стержня шарнирно закреплены. Длина стержня l = 0,8 м.

 Решение. Вычисляем минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня:

 Согласно рис. 6.1.1 принимаем  Находим значение гибкости сжатого стержня:

=69,5.

 Так как , то для вычисления критического напряжения cr используем формулу Ясинского (6.1.6), предварительно выписав из табл. 6.1.2 коэффициенты а = 310 МПа, в = 1,14 МПа, с = 0:

и тогда Fcr =0,55 мН = 550 кН.

 Задача 6.1.2. Определить критическую нагрузку для стержня из равнобокого уголка .

 Модуль упругости стали уголка принять  Длина консольного стержня l = 1,5 м (рис. 6.1.2).

 Ответ:  

 Задача 6.1.3. Определить величину критической силы, критического напряжения для стойки длиной l = 4 м, один конец которой жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Материал стойки – сталь с  Поперечное сечение стойки показано на рис. 6.1.3.

 Решение. Согласно рис. 6.1.1 принимаем  Вычисляем осевой момент инерции кольцевого поперечного сечения:

а затем и радиус инерции поперечного сечения:

 Определяем гибкость сжатого стержня:

 Таким образом, критическую силу вычисляем по формуле Эйлера (6.1.1):

а критическое напряжение по формуле (6.1.3):

 Задача 6.1.4. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если все размеры прямоугольного сечения стержня увеличатся в 2 раза?

 Ответ:  увеличится в 16 раз.

 Задача 6.1.5. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если длина стержня увеличится в 2 раза?

 Ответ:  уменьшится в 4 раза.

 Задача 6.1.6. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если размер h (высота) прямоугольного поперечного сечения (рис. 2.2.2) увеличить в 2 раза?

 Ответ:  увеличится в 2 раза.

 Задача 6.1.7. Определить критическую силу для деревянной стойки прямоугольного поперечного сечения 1020 см и длиной 8 м, если оба конца стойки шарнирно закреплены. Материал стойки – сосна с модулем продольной упругости Е =   МПа.

 Решение. Согласно рис. 6.1.1 принимаем  Определяем гибкость стойки 

 Следовательно, для определения критической силы будем применять формулу Эйлера (6.1.1):

 мН = 25,68 кН.

 Задача 6.1.8. Решить задачу 6.1.7 при условии, что оба конца стойки защемлены.

 Ответ: = 102,72 кН.

 Задача 6.1.9. Определить критическую силу и критическое напряжение для стальной стойки длиной l = 5 м, один конец которой жестко защемлен, а другой – свободен. Поперечное сечение стойки показано на рис. 2.3.3.

 У к а з а н и е. Можно взять без расчета результаты примера 2.3.3.

 Ответ:

 Задача 6.1.10. Определить критическую силу и критическое напряжение для центрально сжатой стальной стойки длиной l = 6 м, один конец которой жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Поперечное сечение стойки показано на рис. 2.3.4.

 У к а з а н и е. Можно взять без расчета результаты примера 2.3.4.

 Ответ:

 Задача 6.1.11. Решить пример 6.1.9 при условии, что l = 3 м.

 Ответ:

 Задача 6.1.12. Определить критическую силу и критическое напряжение для чугунной стойки диаметром d = 30 см и длиной l = 4,5 м. Оба конца стойки шарнирно оперты.

 Ответ:

 Задача 6.1.13. Определить критическую силу и критическое напряжение для центрально сжатой стальной стойки двутаврового сечения (двутавр № 33) длиной l = 4 м. Нижний конец стойки защемлен, верхний – шарнирно оперт.

 Ответ:(по формуле Эйлера); (по формуле Ясинского).

 Задача 6.1.14. Определить критическую силу и критическое напряжение для сжатой вдоль оси пустотелой дюралюминиевой трубы длиной 2 м. Наружный диаметр трубы d = 10 см, внутренний диаметр d1 = 8 см. Нижний конец трубы защемлен, верхний конец – свободен. Принять модуль продольной упругости дюралюминия .

 Ответ:

 Задача 6.1.15. Двутавровая балка № 24 длиной l = 6 м заделана обоими концами в двух жестких стенах при температуре 20о С. В процессе эксплуатации помещения балка нагревается. Определить температуру t нагрева балки, при которой наступит ее продольный изгиб (потеря устойчивости).

 Ответ: t = 72о С.