Физика | |||
Примеры | |||
Задачи | |||
Графика | |||
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Наименьшее значение сжимающей силы, при котором сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную форму равновесия, называется критической силой и обозначается Fcr.
6.1. Определение критической силы при упругом продольном изгибе. Формула Эйлера. Формула Ясинского
Величина критической силы при осевом сжатии стержней в пределах пропорциональности определяется по формуле Эйлера:
(6.1.1)
где
– коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 6.1.1), lef – расчетная длина стойки постоянного сечения, определяемая как
(6.1.2)
l – геометрическая длина стойки (колонны) или отдельного ее участка.
Критическое напряжение
определяется по формуле:
(6.1.3)
– гибкость сжатого стержня, которая находится из выражения
(6.1.4)
imin =
– минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.
Формулы (6.1.1) и (6.1.3) можно применять при условии, что
(6.1.5)
Примерные значения предельной гибкости
приведены в табл. 6.1.1.
Таблица 6.1.1
Материал
Малоуглеродистая сталь
Чугун
Хромомолибденовая сталь
Дюралюминий
Сосна
100
80
60
51
61
При гибкости стержня меньше предельной
критическое напряжение определяется по эмпирической формуле Ясинского:
(6.1.6)
где а, b, c – определяемые экспериментально коэффициенты (табл. 6.1.2).
Таблица 6.1.2
Материал
Коэффициенты, МПа
a
b
c
Малоуглеродистая сталь
Чугун
Хромомолибденовая сталь
Дюралюминий
Сосна
310
761
1000
380
40
1,14
11,77
5,4
2,185
0,203
0
0,052
0
0
0
При гибкости
стержни можно рассчитывать на прочность без учета опасности продольного изгиба.
Задача 6.1.1. Определить критическую нагрузку для сжатого стального стержня, имеющего прямоугольное поперечное сечение 4
6 см. Концы стержня шарнирно закреплены. Длина стержня l = 0,8 м.
Решение. Вычисляем минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня:
Согласно рис. 6.1.1 принимаем
Находим значение гибкости сжатого стержня:
=69,5.
Так как
, то для вычисления критического напряжения
cr используем формулу Ясинского (6.1.6), предварительно выписав из табл. 6.1.2 коэффициенты а = 310 МПа, в = 1,14 МПа, с = 0:
и тогда Fcr =
0,55 мН = 550 кН.
Задача 6.1.2. Определить критическую нагрузку для стержня из равнобокого уголка
.
Модуль упругости стали уголка принять
Длина консольного стержня l = 1,5 м (рис. 6.1.2).
Ответ:
![]()
Задача 6.1.3. Определить величину критической силы, критического напряжения для стойки длиной l = 4 м, один конец которой жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Материал стойки – сталь с
Поперечное сечение стойки показано на рис. 6.1.3.
Решение. Согласно рис. 6.1.1 принимаем
Вычисляем осевой момент инерции кольцевого поперечного сечения:
а затем и радиус инерции поперечного сечения:
Определяем гибкость сжатого стержня:
Таким образом, критическую силу вычисляем по формуле Эйлера (6.1.1):
а критическое напряжение по формуле (6.1.3):
Задача 6.1.4. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если все размеры прямоугольного сечения стержня увеличатся в 2 раза?
Ответ:
увеличится в 16 раз.
Задача 6.1.5. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если длина стержня увеличится в 2 раза?
Ответ:
уменьшится в 4 раза.
Задача 6.1.6. Как изменится критическая сила, определяемая по формуле Эйлера, если размер h (высота) прямоугольного поперечного сечения (рис. 2.2.2) увеличить в 2 раза?
Ответ:
увеличится в 2 раза.
Задача 6.1.7. Определить критическую силу для деревянной стойки прямоугольного поперечного сечения 10
20 см и длиной 8 м, если оба конца стойки шарнирно закреплены. Материал стойки – сосна с модулем продольной упругости Е =
МПа.
Решение. Согласно рис. 6.1.1 принимаем
Определяем гибкость стойки
Следовательно, для определения критической силы будем применять формулу Эйлера (6.1.1):
мН = 25,68 кН.
Задача 6.1.8. Решить задачу 6.1.7 при условии, что оба конца стойки защемлены.
Ответ:
= 102,72 кН.
Задача 6.1.9. Определить критическую силу и критическое напряжение для стальной стойки длиной l = 5 м, один конец которой жестко защемлен, а другой – свободен. Поперечное сечение стойки показано на рис. 2.3.3.
У к а з а н и е. Можно взять без расчета результаты примера 2.3.3.
Ответ:
Задача 6.1.10. Определить критическую силу и критическое напряжение для центрально сжатой стальной стойки длиной l = 6 м, один конец которой жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Поперечное сечение стойки показано на рис. 2.3.4.
У к а з а н и е. Можно взять без расчета результаты примера 2.3.4.
Ответ:
Задача 6.1.11. Решить пример 6.1.9 при условии, что l = 3 м.
Ответ:
Задача 6.1.12. Определить критическую силу и критическое напряжение для чугунной стойки диаметром d = 30 см и длиной l = 4,5 м. Оба конца стойки шарнирно оперты.
Ответ:
Задача 6.1.13. Определить критическую силу и критическое напряжение для центрально сжатой стальной стойки двутаврового сечения (двутавр № 33) длиной l = 4 м. Нижний конец стойки защемлен, верхний – шарнирно оперт.
Ответ:
(по формуле Эйлера);
(по формуле Ясинского).
Задача 6.1.14. Определить критическую силу и критическое напряжение для сжатой вдоль оси пустотелой дюралюминиевой трубы длиной 2 м. Наружный диаметр трубы d = 10 см, внутренний диаметр d1 = 8 см. Нижний конец трубы защемлен, верхний конец – свободен. Принять модуль продольной упругости дюралюминия
.
Ответ:
Задача 6.1.15. Двутавровая балка № 24 длиной l = 6 м заделана обоими концами в двух жестких стенах при температуре 20о С. В процессе эксплуатации помещения балка нагревается. Определить температуру t нагрева балки, при которой наступит ее продольный изгиб (потеря устойчивости).
Ответ: t = 72о С.
|