Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб Приобрести вот такой экран для радиаторов отопления можно в магазине "Интерьер-Про".

Расчет кривых брусьев малой кривизны

Если отношение высоты h кривого бруса к его радиусу кривизны Ro существенно меньше единицы (h/Ro < 0,2 ), то считается, что брус имеет малую кривизну. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы и к брусу малой кривизны.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых и растянуто-изгибаемых брусьев малой кривизны следует выполнять по формуле

 (5.4.1)

где и z – координаты рассматриваемой точки поперечного сечения относительно его главных осей.

 В частном случае, если равны нулю поперечная сила Qz и изгибающий момент , будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости с растяжением или сжатием. В этом случае расчет следует выполнять по формуле

(5.4.2)

 Задача 5.4.1. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных   и нормальных N сил для трехшарнирной круговой арки, показанной на рис. 5.4.1, а. При расчете принять q = 3 т/м, F1 = F2 = 10 т, l = 24 м, f = 6 м.

 Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять .

 Решение. Определим опорные реакции VA, VB, для чего рассмотрим

 откуда VB = 14,75 т;

откуда VA = 23,25 т.

 Составим условие:  тогда  Горизонтальные опорные реакции Н определяем из уравнения  составляемого при рассмотрении только правой части арки

 откуда Н = 19,5 т.

 Аналогичный результат получим, если рассмотреть только левую часть арки.

 Найдем вертикальные опорные реакции RA, RB простой балки, показанной на рис. 5.4.1, б. Предположим, что на балку действует та же нагрузка, что и на арку. В этом случае найдем RA = VA , RB = VB.


В общем виде внутренние усилия в произвольном сечении  трехшарнирной арки выражаются через внутренние усилия  соответствующего сечения простой балки по формулам:

  (5.4.3)

где φ – угол между касательной к оси арки в точке х = const и горизонтальной линией х. Таким образом, для использования формул (5.4.3) необходимо предварительно записать аналитические выражения для изгибающих моментов  поперечных сил  для каждого участка простой балки (рис. 5.4.1, б):

:

 

 

 

 По полученным формулам вычисляем для простой балки с шагом 1 м. Результаты заносим в табл. 5.4.1.

 По условию задачи арка очерчена по окружности, следовательно, ось арки имеет ординату

  (5.4.4)

где радиус кривизны арки вычисляется по формуле

 Для рассматриваемого случая формула (5.4.4) примет вид:

 Находим значения у с шагом 1м, а результаты записываем в табл.5.4.1. Затем также с шагом 1 м вычисляем значения tgφ, cosφ и sinφ по формулам:

  (5.4.5)

 И наконец, по формулам (5.4.3) находим значения внутренних усилий, возникающих в арке. Например, в сечении х = 0 имеем у = 0,   sinφ = 0,8; cosφ = 0,6; Н = 19,5 т. Подставляя эти данные, взятые из первой строки табл. 5.4.1, в формулы (5.4.3) определяем:

Mz(x = 0) = 0 – 19,5·0 = 0;

N(x = 0) = – (23,25·0,8 + 19,5·0,6) = –30,3 т.

 Полученные результаты записываем опять же в первую строку табл. 5.4.1. Затем повторяем все вычисления с шагом . При вычислении внутренних усилий необходимо помнить, что в местах приложения сосредоточенных сил значения поперечных   и нормальных N сил изменяются скачкообразно.

Таблица 5.4.1

х

м

т·м

т

у

м

tgφ

cosφ

sinφ

Mz

тм

т

N

т

0

1

2

3

4

5

6

0

21,75

40,5

56,25

69

78,75

85,5

23,25

20,25

17,25

14,25

11,25

8,25

5,25

0

1,2

2,1

3

3,69

4,27

4,75

1,33

1,08

0,9

0,75

0,63

0,53

0,44

0,6

0,68

0,74

0,8

0,85

0,88

0,92

0,8

0,73

0,67

0,6

0,53

0,47

0,4

0

–1,61

–2,02

–2,25

–2,93

–4,45

–7,08

–1,65

–0,53

–0,14

–0,3

–0,88

–1,8

–2,99

–30,3

–28,1

–26

–24,2

–22,5

–21,1

–20

6

7

8

9

10

11

12

85,5

90,75

96

101,2

106

111,7

117

5,25

4,75

5,14

5,46

5,7

5,87

5,97

6

0,44

0,35

0,28

0,2

0,13

0,07

0

0,92

0,94

0,96

0,98

0,99

0,998

1

0,4

0,33

0,27

0,2

0,13

0,07

0

–7,08

–9,52

–10,4

–9,84

–7,89

–4,6

0

–2,99

–1,55

–0,14

1,24

2,6

3,93

5,25

–20

–20,1

–20,2

–20,2

–20

–19,8

–9,5

12

13

14

15

16

17

18

117

112,2

107,5

102,7

98

93,25

88,5

–4,75

6

5,97

5,87

5,7

5,46

5,14

4,75

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,28

–0,35

–0,44

1

0,998

0,99

0,98

0,96

0,94

0,92

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,27

–0,33

–0,4

0

–4,1

–6,89

–8,34

–8,41

–7,02

–4,08

–4,75

–3,44

–2,11

–0,75

 0,62

 2,02

3,45

–19,5

–19,8

–20

–20,1

–20,1

–20

–19,8

18

19

20

21

22

23

24

88,5

73,75

59

44,25

29,5

14,75

0

–14,75

4,75

4,27

3,69

3

2,1

1,2

0

–0,44

–0,53

–0,63

–0,75

–0,9

–1,08

–1,33

0,92

0,88

0,85

0,8

0,74

0,68

0,6

–0,4

–0,47

–0,53

–0,6

–0,67

–0,73

–0,8

–4,08

–9,45

–12,9

–14,3

–13

–8,61

0

–5,72

–3,45

–0,21

–0,1

2

4,27

6,75

–23,77

–24,1

–24,4

–24,5

–24,4

–24,1

–23,5

 Рассмотрим сечение х = 12 м (точка С на рис. 5.4.1, а). Величины и N в сечении х = 12 – 0 м, принадлежащим второму участку, приведены в табл. 5.4.1. Но сечение х = 12 + 0 м одновременно принадлежит и третьему участку, поэтому определяем  и N по формулам (5.4.3) при условии, что  берется в сечении х = 12 м третьего участка простой балки:

 N(x = 12) = – (–4,75·0 + 19,5·1) = –19,5 т.

 Аналогичные вычисления проводим для сечения х = 18 м, после чего приступаем к построению эпюр Mz, , N для арки (рис. 5.4.1, г).

 Из рассмотрения эпюр внутренних усилий арки можно сделать вывод, что наиболее опасным будет поперечное сечение х = 21 м с

Mz,max = 14,3 т·м и N = –24,5 т.

 Учитывая, что h = 60 см, b = 20 см (рис. 5.4.2), из формулы (5.4.2) определяем


 Задача 5.4.2. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной параболической арки, показанной на рис. 5.4.3. Ось параболической арки очерчена по кривой

y = 4xf(l – x) / l2,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т,

tgφ = 4f(l – 2х) / l2,

а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить   в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.3;

= –87,16 кг/см2 в сечении с х = 9 м.

 Задача 5.4.3. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной эллиптической арки, показанной на рис. 5.4.4. Ось эллиптической арки очерчена по кривой


, tgφ = 4(f / l)2(l/2 – х) / y,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т, а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.4;

= –313,44 кг/см2 в сечении с х = 22 м.

 Задача 5.4.4. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для разрезанного кольца (рис. 5.4.5).

 Ответ: MB = MD = rF, MC = 2rF, MA = ME = 0, NC = QD = F,

QB = NA = –F,

 QC = NB = ND = 0.

Задача 5.4.5. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.6.

 Ответ: MC = MA = 0,

MB = rF, QCD = 0, QBC = –F, QA = 2F, NBD = 2F, NA = F.

 Задача 5.4.6. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.7.

Ответ: MC = MA = 0, MB = rF, MD = –rF,

ME = –2rF, QC = QED = NB = F,

QA = –F, NA = NC = NED = 0, ND = –F.

5.5. Расчет толстостенных труб

В толстостенных трубах, нагруженных равномерным давлением, напряжения и деформации не изменяются вдоль оси трубы. При этом распределение напряжений и деформаций происходит одинаково во всех плоскостях, перпендикулярных к этой оси. По граням малого криволинейного элемента, выделенного в поперечном сечении трубы (рис. 5.5.1), действуют нормальные напряжения – радиальные σr и окружные σθ. Каждая точка трубы при ее деформации получает радиальное перемещение u. Величины напряжений σr и σθ, а также перемещения u зависят от расстояния r от рассматриваемой точки трубы до ее оси.

Если сплошная (не составная) труба с внутренним радиусом а и наружным радиусом b не имеет днищ и нагружена равномерным внутренним ра и наружным рb давлением, то величины σr, σθ и u определяются по формулам Ламе

(5.5.1)

 Поскольку в точках толстостенных труб реализуется сложное (плоское) напряженное состояние, оценка прочности их производится на основе тех или иных критериев (теорий) прочности.

 Формулы Ламе используются, в частности, при расчете составных труб (рис. 5.5.2). В соответствии с решением А.В. Гадолина основные геометрические и силовые параметры таких труб определяются по формулам:

 радиальный натяг: , (5.5.2)

 внешний радиус внутренней трубы: , (5.5.3)

 давление от натяга: (5.5.4)

 Условие прочности в наиболее напряженных точках составной трубы в соответствии с критерием наибольших касательных напряжений (III теория прочности) имеет вид

(5.5.5)

 Задача 5.5.1. Для стальной составной трубы (рис. 5.5.2) заданы: внутренний радиус внутренней трубы а = 7см, внутреннее давление р = 100 МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 240 МПа, коэффициент Пуассона ν = 0,3; модуль продольной упругости Е = 2·105 МПа. Требуется:

 1) определить внешний радиус внутренней трубы b, внешний радиус наружной трубы с, радиальный натяг δ;

 2) проверить прочность сплошной трубы с внутренним радиусом а и внешним радиусом с, нагруженной внутренним давлением р, используя III теорию прочности;

 3) проверить прочность в опасных точках составной трубы, нагруженной внутренним давлением р, используя III теорию прочности;

 4) определить радиальные перемещения точек внутреннего канала.

Решение. 1) Определение геометрических параметров b, c и δ.

Внешний радиус с наружной трубы определяется на основе условия прочности (5.5.5):

Внешний радиус b внутренней трубы определяется по формуле (5.5.3):

Радиальный натяг рассчитываем по формуле (5.5.2):

 2) Проверка прочности сплошной трубы с внутренним радиусом а и внешним радиусом с, нагруженной давлением р.

 Из теории расчета толстостенных труб известно, что и при нагружении внутренним давлением, и при нагружении внешним давлением опасными являются точки на внутреннем канале трубы.

Рассчитываем напряжения в точках 1 (рис. 5.5.2), используя формулы (5.5.1) и полагая в них b = c, pa = p, pb = 0, r = a:

По аналогии определяем в точках 2 и 3:

и в точке 4: 

 Эпюра распределения напряжений по толщине сплошной трубы с внутренним радиусом a и внешним радиусом c показана на рис. 5.5.3.

Условие прочности по III теории прочности имеет вид

В нашем случае в точке 1 трубы будет 

σmax = σθ = 203 МПа; σmin = σr = –100 МПа.

Таким образом, получаем

 >Ry = 240 МПа.

 Условие прочности для сплошной трубы не выполняется.

 3) Проверка прочности в опасных точках составной трубы, нагруженной внутренним давлением р.

Вначале рассчитываем давление от натяга рк на поверхности контакта наружной и внутренней трубы, используя формулу (5.5.4)

Рассчитываем напряжения σr и σθ в точке 1 от действия натяга рк, используя формулы (5.5.1) и полагая в них pa = 0, pb = pk , r = a:

Рассчитаем суммарные напряжения σr и σθ в точке 1 от действия р и pk:

 

Проверяем прочность составной трубы в точке 1 по III теории прочности : 

Условие прочности для составной трубы выполняется.

 4) Определение радиальных перемещений точек 1 составной трубы.

Воспользуемся законом Гука для двухосного напряженного состояния

Задача 5.5.2. Для стальной составной трубы заданы: внутренний радиус внутренней трубы а = 5 см, внутреннее давление р = 200МПа, расчетное сопротивление стали Ry = 300 МПа, модуль упругости материала стальной трубы Е = 2·105 МПа. Требуется определить внешний радиус внутренней трубы b, внешний радиус наружной трубы с, радиальный натяг δ (рис. 5.5.2).

Ответ: b = 8,66 см; с = 15 см; δ = 0,0086 см.


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов