Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб

Дифференциальное уравнение изгиба балок

 Дифференциальное уравнение изгиба упругой оси балки имеет вид

  (4.4.1)

где у = у(х) – уравнение изогнутой оси балки после деформации; М = Мz – изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки; EI – жесткость балки на изгиб, I = Iz – осевой момент инерции относительно нейтральной оси z (рис. 4.2.1).

 Интегрируя дифференциальное уравнение (4.4.1), находим угол поворота оси х (угловое перемещение) в произвольном поперечном сечении балки:

 (4.4.2)

а затем и прогиб (линейное перемещение) произвольного поперечного сечения балки:

  (4.4.3)

где С, D – произвольные постоянные интегрирования, которые находятся при удовлетворении граничных условий в линейных или угловых перемещениях.

 У к а з а н и я

 1. Уравнения (4.4.1) – (4.4.3) составляются для каждого участка балки. Участком балки называется такая ее часть, в пределах которой законы изменения внешней нагрузки остаются постоянными. В пределах одного участка закон изменения изгибающего момента M = Mz можно выразить одной формулой.

 2. Для удобства вычисления произвольных постоянных интегрирования С и D необходимо записывать закон изменения изгибающего момента для каждого участка произвольной балки (рис. 4.4.1) в виде

  

  (4.4.4)

 В этом случае угол поворота  оси балки получаем после интегрирования полученных выше выражений (4.4.4): 

 

 

  (4.4.5)

 Интегрируя еще раз, получаем искомый прогиб балки в виде формул для каждого участка отдельно:

 

 (4.4.6)

 Из формул (4.4.4)(4.4.6) видно, что при записи закона изменения изгибающего момента сосредоточенный момент необходимо брать с плечом в степени нуль, например, для первого участка Интегрирование производить, не раскрывая скобок. Только после получения окончательного результата (4.4.6) можно раскрывать скобки и производить алгебраические упрощения.

 Задача 4.4.1. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, изображенной на рис. 4.4.2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.

 Решение. Определяем опорные реакции RA, RB. С учетом симметрии находим RA = RB = ql/2.

 Мысленно проводим сечения в каждом из трех участков рассматриваемой балки. Сечения имеют абсциссы х1, х2 и х3, так как начало координат помещено в точке А.

 Запишем значения изгибающих моментов в каждом из проведенных сечений:

 

 При определении МIII учитывалось, что распределенную нагрузку q необходимо продолжить вправо на всю длину балки, а на третьем участке необходимо ввести компенсирующую нагрузку, противоположную по направлению заданной и с той же интенсивностью q. Проведенная операция с распределенной нагрузкой q не влияет на напряженно-деформированное состояние балки, но дает преимущества при вычислении произвольных постоянных С и D.

 Интегрируем полученные выражения согласно формуле (4.4.2) с учетом указаний (4.4.5):

 

  (4.4.7)

 Интегрируя еще раз полученные зависимости, получаем значения прогибов для каждого участка балки:

 

  (4.4.8)

 Для определения постоянных интегрирования С и D необходимо поставить два граничных условия. Рассматривая балку на рис. 4.4.2, замечаем, что прогибы на опорах А и В равны нулю, так как шарнирно подвижная В и шарнирно неподвижная А опоры препятствуют вертикальному перемещению концов балки. Следовательно, граничные условия можно записать как: при х1 = 0 имеем уI = 0 и при х3 = 2a + l имеем уIII = 0.

 Применительно к формулам (4.4.8) получаем, что при x1 = 0 имеем yI = =D = 0, откуда D = 0, а при x3 = 2a + l имеем

откуда, принимая 2a + l = L, находим:

 Подставляя полученное выражение для C и D = 0 в формулы (4.4.8), определяем

 Подставляя выражение для определения С и равенство D = 0 в формулы (4.4.7), получим формулы для вычисления углов поворота поперечных сечений балки для каждого участка.

 По условию задачи требуется определить максимальный прогиб балки. С учетом симметрии балки (рис. 4.4.2) делаем вывод, что уmax будет посередине второго участка или что то же самое в середине пролета балки. Для вычисления уmax  используем формулу для прогибов второго участка при x2 = L/2 или x2 = a + l/2:

 Полагая a = 0, l = L из полученной формулы можно получить максимальный прогиб в середине пролета балки (рис. 4.2.6), полностью загруженной равномерно распределенной нагрузкой q

 Подставляя значение x2 = L/2 или x2 = a + l/2, находим угол поворота поперечного сечения в середине второго участка (x = L/2) = 0.

 Задача 4.4.2. Определить прогиб балки, изображенной на рис. 4.4.3. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Решение. Определяем опорные реакции RA и RB:  тогда RA = RB = m/l.

 Балка состоит из одного участка. Составляем уравнение упругой оси балки (4.4.1):

а затем его интегрируем: 

   (4.4.9)

 Для определения постоянных интегрирования С и D поставим граничные условия: при х = 0 имеем у = 0 и при х = l также имеем у = 0, т.е. получаем у(х = 0) = D = 0, откуда D = 0, далее

,

откуда находим С = –ml/(3EI).

 Подставляя полученное значение С в формулы (4.4.9), окончательно запишем результаты:

 

 Задача 4.4.3. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки после деформации. Балка представлена на рис. 4.4.4, жесткость балки на изгиб постоянна (EI = const).

 Ответ: y = –mx2/(2EI), = –mx/(EI).

 Задача 4.4.4. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 4.4.5). Определить максимальный прогиб балки.

 Ответ: y = q(4x3l –x4 – 6l2x2)/(24EI); yB,max = –ql 4/(8EI).

 Задача 4.4.5. Определить максимальный прогиб консольной балки, нагруженной сосредоточенным моментом m. Жесткость балки на изгиб равна EI. Определить также угол поворота оси балки в точке В (рис. 4.4.6).

 Ответ: yB,max = –3ml2/(2EI); = –ml/(EI).


Задача 4.4.6. Получить уравнение изгиба упругой оси однопролетной балки, показанной на рис. 4.4.7. Жесткость балки на изгиб EI считать постоянной по всей длине.

 Ответ:

 

 

 Задача 4.4.7. Получить уравнение изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. Балка и действующая на нее нагрузка изображены на рис. 4.4.8. Определить прогиб в точке А.

 Ответ: yI = qbx2(6a + 3b –2x)/(12EI),

yII = q[a4 – 4a3x + 6(a + b)2x2 – 4(a + b)x3 + x4]/(24EI);

yI,A = yII,A = qa2b(4a + 3b)/(12EI).

 Задача 4.4.8. Записать уравнения изгиба упругой оси однопролетной балки с постоянной жесткостью EI на изгиб. Внешняя нагрузка на балку показана на рис. 4.1.17. Определить вертикальное смещение поперечного сечения в точке С.

 Ответ:  yC = 0;

 

 Задача 4.4.9. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой F (рис. 4.2.3).

 Ответ: yB = –Fl3/(48EIz); Iz = bh3/12.

 Задача 4.4.10. Определить максимальный прогиб консольной балки круглого поперечного сечения диаметром d. Внешняя нагрузка показана на рис. 4.2.4.

 Ответ:   


Задача 4.4.11. Определить максимальный прогиб в однопролетной балке, показанной на рис. 4.4.9. Жесткость балки на изгиб – EIz.

 Ответ: y(x = l/2) = –13ql4/(384EIz).

 Задача 4.4.12. Записать уравнения изгиба упругой оси однопролетной балки, представленной на рис. 4.4.10. Балка имеет постоянную жесткость на изгиб EIz.

 Ответ:

  

 Задача 4.4.13. Записать уравнения изгиба упругой оси консольной балки с постоянной жесткостью на изгиб EI. На балку действует сосредоточенная сила F. Определить угол поворота поперечного сечения на участке II (рис. 4.4.11).

 Ответ:  

 Задача 4.4.14. Получить уравнения изгиба упругой оси балки для каждого из ее трех участков. Балка – постоянной жесткости на изгиб EI (рис. 4.4.12).

 Ответ:

 

 

 Задача 4.4.15. Построить эпюру прогибов балки, показанной на рис. 4.1.3, а, приняв, что l = 0,5 м, а интенсивность равномерно распределенной нагрузки  q = 10 кН/м. Поперечное сечение постоянно по длине балки Iz = 100 см4. Модуль упругости материала балки Е = (сталь).

 Ответ:

х, см 0 20 40 60 80 100 140 150 160 200

у, мм 0 –0,456 –0,759 –0,828 –0,664 –0,347 –0,081 0 –0,2 –2,25

 Задача 4.4.16. Определить максимальный прогиб консольной балки, представленной на рис. 4.1.19. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ: yB = –11ql4/(192EI);

 Задача 4.4.17. Определить максимальный прогиб консольной балки, показанной на рис. 4.1.20. Жесткость балки на изгиб – EI.

 Ответ: yB = –ql4/(30EI); 

 Задача 4.4.18. Определить максимальный прогиб однопролетной балки, загруженной распределенной треугольной нагрузкой (рис. 4.1.21). Вычислить угол поворота  оси х балки на опорах.

 Ответ: ymax = –ql4/(120EIz);  = 0 при x = l/2;

 


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов