Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб

Дополнительные задачи на сдвиг

Задачи на сдвиг встречаются не только при расчете заклепочных и болтовых соединений. Имеются и другие элементы конструкций, испытывающие деформацию сдвига, и поэтому при их расчете необходимо всякий раз удовлетворять условию прочности на срез

  (3.1.15)

и условию прочности на смятие

 (3.1.16)

Например, при расчете соединения деревянных элементов в качестве условия (3.1.15) применяется условие прочности на скалывание вдоль волокон

  (3.1.17)

где Rск – расчетное сопротивление скалыванию.

Условие прочности на смятие в деревянных конструкциях вдоль волокон имеет вид соотношения (3.1.16).

Задача 3.1.16. Определить длину l призматической шпонки, с помощью которой соединены вал 1 диаметром 0,036 м с колесом 2 (рис. 3.1.23). С вала на колесо передается момент М = 144 Нּм. Расчетные сопротивления материала шпонки равны: на срез Rs = 80 МПа, на смятие Rр =320МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 1. Размеры на рисунке указаны в мм.

 Решение. Вначале следует определить величину усилия F, действующего на шпонку со сто-роны соединяемых деталей. Оче-видно, что M = Fd/2, где d – диаметр вала. Следовательно,

F = 2M/d = 2·144/0,036 = 8000 Н.

 Можно допустить, что это усилие равномерно распределено по площади шпонки равной Aр = hl/2, где h = 8 мм – высота шпонки. Необходимая для обеспечения прочности длина шпонки может быть найдена из условий (3.1.15) и (3.1.16), которые применительно к рассматриваемой задаче запишутся так:

Находим длину шпонки из первого условия (прочность на срез):

и из второго условия (условие прочности на смятие):

Следовательно, чтобы соединение было прочным, длину шпонки необходимо принять равной большему значению из двух полученных длин, т.е. 1 см.

Задача 3.1.17. Определить размеры δ и h чеки (рис. 3.1.24), служащей для закрепления анкера В диаметром d = 40 мм в гнезде, а также длину x хвоста анкера, если коэффициент условий работы соединения γс = 1, а расчетные сопротивления равны: на растяжение (для материала анкера) Ru = 160 МПа, на срез Rbs = 100 МПа, на смятие Rbр = 320 МПа.

У к а з а н и я

 1. Сила F определяется из условия прочности на растяжение анкера.

 2. Площадь смятия равна δd , площадь среза 2h = 2xd.

 Ответ: F = 137 кН; h = 7 см, x = 2 см.

 Задача 3.1.18. Цилиндр диаметром d = 12 см (рис. 3.1.25) соединяется с деталью ВВ при помощи четырех приливов, каждый из которых имеет высоту δ = 2 мм и длину b = 5 мм. Определить напряжения среза τср и смятия σсм в этом соединении, если сдвигающее усилие F = 240 кН.

 Ответ: σсм = 320 МПа;

 τср = 128 МПа.

Задача 3.1.19. Две детали соединены шлицевым соединением (рис. 3.1.26). Определить разрушающую величину момента, передаваемого с вала 1 на деталь 2, если предел прочности на срез материала Rsn = 100 МПа.


Ответ: Тразр = 486 Н·м.

Задача 3.1.20. Определить, какую силу F (рис. 3.1.27) надо приложить к штампу для пробивки в стальном листе толщиной δ = 10 мм отверстия диаметром d = 12 мм, если предел прочности на срез материала листа Rsn = 400 МПа.

Ответ: F = 151,2 кН.

Задача 3.1.21. Определить необходимую глубину Δ кольцевой канавки мембраны предохранительного клапана (рис. 3.1.28), если максимальное давление pmax  = 10 МПа, диаметр d = 4 см,

толщина мембраны δ = 2Δ, предел прочности материала мембраны на срез Rsn = 100 МПа.

У к а з а н и е

При достижении максимального давления pmax клапан должен сработать, т.е. мембрана прорывается путем среза по кольцевой канавке.

Ответ: Δ = 1 мм.


Задача 3.1.22. Проверить прочность соединения деревянных элементов – врубки «прямым зубом», показанной на рис. 3.1.29. Размеры врубки даны на рисунке в мм, растягивающая сила F = 100 кН. Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на скалывание Rск = 2,5 МПа, на смятие Rсм = 10 МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 1.

Решение. Проверяем выполнение условия прочности на скалывание (3.1.17)

 Таким образом, условие прочности на скалывание выполняется.

Проверяем условие прочности на смятие (3.1.16)

 Таким образом, и условие прочности на смятие также выполняется.

 Задача 3.1.23. Определить необходимые размеры врубки «прямым зубом». Соединение показано на рис. 3.1.30. Сечение брусьев квадратное, растягивающая сила F = 40 кН.

 Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на смятие Rсм = 10 МПа, на растяжение Rр = 12,5 МПа, на скалывание Rск = 1,25 МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 0,8.

 Ответ: а = 11,4 см; b = 4,4 см; с = 35,1 см.

3.2 Кручение

 Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 3.2.1, а). Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Из теоретической механики известна зависимость между скручивающим моментом М, Н·м, мощностью (секундной работой) U, Н·м·с-1, и числом n оборотов в минуту для вала

 . (3.2.1)

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

 . (3.2.2)

3.2.1. Крутящие моменты и их эпюры

В поперечных сечениях скручиваемого вала возникают внутренние крутящие моменты Т. Они устанавливаются на основе метода сечений: внутренний крутящий момент равен алгебраической сумме односторонних внешних моментов. При построении эпюр крутящих моментов принимают следующее правило знаков: если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий в этом сечении момент оказывается направленным против хода часовой стрелки, то он считается положительным (рис. 3.2.1, б), а если по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Задача 3.2.1. На вал, делающий n = 100 об/мин, передается через ведущий шкив мощность U0 = 10 кВт. С двух ведомых шкивов снимаются мощности U1 = 6 кВт и U2 = 4 кВт (рис. 3.2.2.) Построить эпюру крутящих моментов Т для этого вала.

 Решение. Определяются величины внешних скручивающих моментов по формуле (3.2.2.):

 

Вал разбивается на два участка, границами которых являются сечения, где приложены внешние моменты. Применяя метод сечений на первом и втором участках, и пользуясь указанным выше правилом для расчета крутящего момента Т, получим

Т1 = М0 = 974 Н·м; Т2 = М0 – М1 = 974 – 584 = 390 Н·м.

 Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 3.2.2.

Задача 3.2.2. Для условий задачи 3.2.1. построить эпюру Т, поменяв местами моменты М0 и М1.

Ответ: Т1 = –584 Н·м; Т2 = 390 Н·м.

Задача 3.2.3. Для стального вала круглого поперечного сечения, нагруженного четырьмя внешними скручивающими моментами М1=0,3 кН·м, М2 = 0,6 кН·м, М3 = 1,5 кН·м, М0 = 2,4 кН·м (рис. 3.2.3.), построить эпюру крутящих моментов.

 Ответ: Т1 = –0,3 кН·м (на участке АВ); Т2 = –0,9 кН·м (на участке ВС);

 Т3 = 1,5 кН·м (на участке СD).

Задача 3.2.4. Построить эпюру крутящих моментов для вала, показанного на рис. 3.2.4.

Ответ: Т1 = 2000 Н·м (на участке АВ); Т2 = –1000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = –3600 Н·м (на участке CD);

 Т4 = 1400 Н·м (на участке DЕ).

Задача 3.2.5. Найти наиболее рациональное расположение четырех крутящих моментов на валу (рис. 3.2.5):

М1 = 2 кН·м, М2 = 3 кН·м;

М3 = 1 кН·м, М0 = 6 кН·м.

У к а з а н и я

1. Наиболее выгодным расположением моментов на валу является то, при котором максимальный момент Тmax будет наименьшим среди Тmax при других расположениях внешних моментов.

2. В задаче следует рассмотреть 3–4 варианта размещения моментов и выбрать из них оптимальный вариант.

3. Длины участков вала остаются неизменными.

 Ответ: Т1 = –3000 Н·м (на участке АВ); Т2 = 3000 Н·м (на участке ВС);

 Т3 = 1000 Н·м (на участке СD).


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов