Сопромат Построение эпюр нормальных сил и напряжений Расчеты на растяжение и сжатие Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба Испытание стальных образцов на продольный изгиб

ЗАДАЧИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ

В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса.

Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.

Задачам по каждой теме предшествует иллюстративное решение типовых задач с методическими указаниями. Все остальные задачи снабжены ответами.

Г л а в а 1

РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

В этой главе, в основном, будет рассматриваться брус. Брус – это тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса – это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений.

Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров – угловой деформацией. Удлинение – это увеличение линейных размеров тела, а укорочение – уменьшение линейных размеров тела.

Пусть прямой брус длиной l заделан одним концом, а на другом конце приложена внешняя сосредоточенная сила F. Под действием этой силы брус удлинится на величину , которая называется полным (абсолютным) удлинением, тогда

(1.1)

где – относительная продольная деформация.

Перемещение точки – расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении, например, вдоль оси стержня.

Центральное растяжение (сжатие) – это такой случай напряженного состояния, когда в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N.

На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стержня испытывают одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные напряжения распределены равномерно по поперечному сечению стержня, поэтому

(1.2)

где А –площадь поперечного сечения стержня.

Зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):

(1.3)

где Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга).

Пользуясь законом Гука (1.3), можно вычислить абсолютное удлинение стержня при действии нормальной силы N (рис. 1.1, а):

(1.4)

при учете только действия собственного веса стержня (рис. 1.1, б):

(1.5)

где – объемный вес материала стержня.


Рис. 1.1

Если по длине стержня l нормальная сила N(x) и площадь сечения A(x) переменны и изменяются по какому-либо непрерывному закону, то удлинение определяется по формуле

(1.6)

Для стержня со ступенчатым изменением площади Ai (рис. 1.1, в) и нормальной силы Ni удлинения вычисляются на каждом участке с постоянными Ni и Ai, а результаты алгебраически суммируются:

(1.7)

где n – число участков; i – номер участка (i = 1; 2; 3; …; n).

Существует экспериментально установленная зависимость:

где – относительная поперечная деформация, – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). Коэффициент Пуассона вместе с модулем продольной упругости Е характеризует упругие свойства материалов.

Расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

(1.8)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.1.1) или другим нормам.

Таблица 1.1

Элементы конструкции

Колонны общественных зданий и опор водонапорных башен

Элементы стержневых конструкций покрытий и перекрытий:

а) сжатых при расчетах на устойчивость

б) растянутых в сварных конструкциях

Сплошные составные балки, колонны, несущие статическую нагрузку и выполненные с помощью болтовых соединений, при расчетах на прочность

Сечения прокатных и сварных элементов, несущих статическую нагрузку, при расчетах на прочность

Сжатые элементы из одиночных уголков, прикрепляемые одной полкой

0,95

0,95

0,95

1,1

1,1

0,75

Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

принимать .

Для хрупких материалов условия прочности принимают вид:

при растяжении: , ;

при сжатии: , (1.9)

где и – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

Для центрально сжатых бетонных элементов формула (1.9) записывается в виде:

(1.10)

где – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

У к а з а н и я

1. В том случае, когда направление нормальной силы заранее неизвестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия нормальная сила получится со знаком «плюс», то брус испытывает растяжение, со знаком «минус» – сжатие.

2. Если в рассматриваемом сечении приложена сосредоточенная сила F, направленная вдоль оси стержня, то значение нормальной силы на эпюре нормальных сил N в этом сечении изменяется скачкообразно на величину приложенной силы.


Задачи и лабораторные работы по сопротивлению материалов