Задачи на интеграл

Математика
Контрольная работа по математике
Примеры решения типовых задач
Вычислим интеграл
Задачи на интеграл
Свойства неопределённого интеграла
Физика задачи
Законы геометрической оптики
Точечный источник волн
Фокусное расстояние линзы
Дифракционная решетка
Оптическая пирометрия

Квантовая физика

Курс лекций по ядерным реакторам
Физика лабораторные работы
Закон преломления света
Дисперсия и поглощение света
Дифракционная решетка
Примеры задач по физике
Лабораторные работы задачи
по электротехнике
Ядерная физика
Ядерная физика лекции
Электрические цепи
Магнитное поле и магнитные цепи
Волоконно-оптические приборы
Электронные усилители
Инженерка
История искусства
Сопромат
Начертательная геометрия
Типовые задачи по начерталке
Черчение
Художники, меценаты
Инженерная графика примеры
Информатика
Информационно-вычислительные
системы и сети

Элементы теории множеств.
Понятие об аксиоматическом методе. Базовые понятия наивной теории множеств: пустое множество, принадлежность множеству, операции и бинарные отношения над множествами, числовые множества; диаграммы Эйлера-Венна. Структурная иерархия объектов исследования: множества натуральных, рациональных, иррациональных и действительных чисел; множества векторов и псевдовекторов (комплексных чисел, кватернионов и др.); множества матриц и тензорные множества; множества полиномов, дробно-рациональных и иррациональных выражений и т.д. Мера множества, измеримость и метрика пространства.
2. Функции дискретного аргумента.
Аналитический и рекуррентный способы задать числовую последовательность. Свойства числовых последовательностей: монотонность, ограниченность, сходимость. Числа Лудольфа и Непера.
3. Функции непрерывного аргумента.
Области определения и свойства элементарных функций: четность, периодичность, ограниченность и т.д. Предел функции, непрерывность функции и классификация точек разрыва. Асимптоты графика функции.
4. Элементы дифференциального исчисления функции одной переменной
Производные первого и высших порядков. Локальный экстремум функции одной переменной. Достижимость максимального и минимального значения непрерывной функцией одной переменной на отрезке. Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях.
5. Элементы дифференциального исчисления функции нескольких переменных.
Частные производные первого и высших порядков. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Достижимость максимального и минимального значения непрерывной функцией нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум функции нескольких переменных, метод множителей Лагранжа. Полный дифференциал, производная по направления и градиент.
6. Элементы интегрального исчисления для функций одной переменной. Неопределенный интеграл.
Понятие неопределенного интеграла, основные методы интегрирования (внесение под знак дифференциала, типовые замены переменных и приемы интегрирования, метод интегрирования по частям). Свойства неопределенных интегралов и понятия об элементарных дифференциальных уравнениях.
7. Элементы теории рядов. Числовые ряды.
Числовые последовательности и суммы их элементов, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Понятие и свойства числовых рядов, сходимость и признаки сходимости числового ряда. Техники поиска сумм элементов некоторых сходящихся рядов.
8. Элементы теории рядов. Функциональные ряды.
Понятие и свойства функциональных рядов. Сходимость и признаки сходимости степенных функциональных рядов, радиус и область сходимости степенного ряда. Разложение функции в ряд Тейлора (Маклорена).
9. Элементы интегрального исчисления для функций одной переменной. Определенный интеграл.
Понятие и свойства определенного интеграла. Методы вычисления определенных интегралов. Практические приложения определенных интегралов. Понятие и свойства несобственного интеграла. Несобственные интегралы I и II рода.
10. Элементы интегрального исчисления для функций нескольких переменных.
Понятие, свойства и основные методы вычисления кратных интегралов. Криволиненые интегралы: понятие, классификация, способы вычисления. Элементы теории поля. 11. Дифференциальные уравнений.
Классификация дифференциальных уравнений. Способы решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши.
12. Элементы теории рядов. Периодические ряды.
Понятие и свойства периодических рядов. Разложение периодических функций в ряд Фурье. Понятие об интеграле Фурье и операционном исчислении.

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом.

Функции Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.

Пределы функции на бесконечности Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Предел функции в точке Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х   + ¥, х ®¥, x ® x0 – 0, х ® x0 + 0), если a(х) = 0.

Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Основные теоремы о пределах

Первый замечательный предел Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.

Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва Пусть функция f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Если существует  и , то функция f(x) называется непрерывной в точке x0, а x0 называется точкой непрерывности функции f(x).

Рассмотрим операции над непрерывными функциями.

Свойства функций, непрерывных на отрезке Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Дифференциальное исчесление функции одной переменной Понятие производной, ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Производные некоторых элементарных функций Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. производная  существует.

Основные правила дифференцирования Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции

 

 

 

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или (x).

Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует производная этой функции, то  = 0.

Правило Лопиталя В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа  и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Возрастание и убывание функций Теорема. (Достаточное условие возрастания функции)

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).

Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Решение типовых задач Предел функции При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.

Производная функции Основные правила нахождения производной

Дифференциал функции Пример. Найти .

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей типа  и .

Исследование функций и построение их графиков

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

Пример. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

Пределы числовых последовательностей и функций. Образец выполнения типового расчёта № 1. Задание. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость

Типовой расчёт № 2 Дифференцирование функции одной переменной. Исследование функций с помощью производной

Образец выполнения типового расчёта № 3. Задание 1. Составить формулу общего члена числового ряда: .

Интегрирование. Образец решения типового расчёта № 4. Задание 1. Найти неопределённые интегралы: .

Производная и дифференциал функции двух переменных. Исследование функции двух переменных. Образец решения типового расчёта № 5. Задание 1. Найти и изобразить на плоскости область определения функции двух переменных: .

Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла, вычисление интеграла по определению. Необходимый признак интегрируемости

 

 

 

Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем (без док.) Геометрический смысл. Среднее значение функции.

Теорема (Ньютона-Лейбница, формула) Если F(х)- есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(х), то справедлива формула: .

Приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры (вывод формулы в полярной системе), длины дуги (вывод формулы в ДСК), объема тела вращения относительно Ox (вывод формулы)

Признаки сходимости. Первый признак сравнения(теорему доказать). Второй (предельный) признак сравнения(без док.)

Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла (доказать) Теорема: Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он и сходится.

Понятие функции нескольких переменных. Область определения, область значений, график, линии (поверхности) уровня.

Непрерывность ФНП

Понятие частной производной ФНП. Геометрический и физический смысл. 

Свойства дифференцируемой ФНП в точке: теорема о непрерывности дифференцируемой функции и теорема о необходимом условии дифференцируемой функции (2 теоремы – доказать), теорема о достаточном условии дифференцируемости функции и следствие

Теорема о дифференцировании сложной функции

Понятие производной по направлению

Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.

Определение общего решения ДУ порядка выше первого, частное решение. Д.У. n-го порядка называется уравнение, которое содержит независимую переменную x, искомую функцию у, ее производную n-го порядка.

Определитель Вронского. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов для уравнений со специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных (вывод рабочей формулы).

Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами

Признак Даламбера, радикальный и интегральный Коши

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док). Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда

Функциональные ряды. Основные понятия: область и точка сходимости, равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса (док.). Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от x u1(x)+u2(x)+u3(x)+…+un(x)+…=un (x). Совокупность значений аргумента, при которых функ-й ряд сходится, называется областью сходимости ряда.

Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена

Признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции

Доставка обедов в офис еще здесь.
Примеры задач по физике, математике