Силы тяготения Релятивистская масса и релятивистский импульс

Примеры решения задач по физике

Основное уравнение кинетической теории газов.

Энергия молекул

9.12. Определить концентрацию п молекул идеального газа при температуре T=300 К и давлении p=1 мПа.

9.13. Определить давление p идеального газа при двух значениях температуры газа: 1) T=3 К; 2) T=1 кК. Принять концентрацию п молекул газа равной »1019 см-3.

9.14. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V=30 л при температуре Т=300 К и давлении р=5 МПа?

9.15. Определить количество вещества v и концентрацию п молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V=240 см3 при температуре T=290 К и давлении р=50 кПа.

9.16. В колбе вместимостью V=100 см3 содержится некоторый газ при температуре T=300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N= 1020 молекул?

9.17. В колбе вместимостью V =240 см3 находится газ при температуре Т=290 К и давлении р=50 кПа. Определить количество вещества v газа и число N его молекул.

9.18. Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул равна 1010 см-3. Определить: 1) температуру Т газа; 2) среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения молекул газа. Фотопроводимость полупроводников. Экситоны Увеличение электропроводности полупроводников может быть обусловлено не только тепловым возбуждением носителей тока, но и под действием электромагнитного излучения.

9.19. Определить среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения и среднее значение <e>полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т=600 К. Найти также кинетическую энергию W поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества v=l кмоль.

9.20. Определить среднее значение <e> полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре T=400 К.

9.21. Определить кинетическую энергию <e1>, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре Т=1 кК, а также среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения, <eвр> вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии <e> молекулы. Разрешающая способность оптических приборов Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты и аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

9.22. Определить число N молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом V=1м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре t=20 °C, если давление р насыщенного пара ртути при этой температуре равно 0,13 Па.

9.23. Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорбированные газы. Определить, на сколько повысится давление в сферическом сосуде радиусом R=10 см, если все адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, сечение s одной молекулы равно 10-15 см2. Температура Т, при которой производится откачка, равна 600 К.

9.24. Определить температуру Т водорода, при которой средняя кинетическая энергия <eп> поступательного движения молекул достаточна для их расщепления на атомы, если молярная энергия диссоциации водорода Wm=419 кДж/моль.

Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энергия, затрачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством вещества v =1 моль.

Скорости молекул

9.25. Найти среднюю квадратичную <Jкв> среднюю арифметическую <J> и наиболее вероятную Jв скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T=20 К; 2) T=300 К; 3) Т=5 кК.

9.26. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости J2=11,2 км/с?

9.27. При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость <Jкв>, как молекулы водорода при температуре T1=100 К?

9.28. Колба вместимостью V=4 л содержит некоторый газ массой m=0,6 г под давлением p=200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> молекул газа.

9.29. Смесь гелия и аргона находится при температуре T=1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

9.30. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> пылинки массой m=10-10 г, если температура Т воздуха равна 300 К.

9.31. Во сколько, раз средняя квадратичная скорость <Jкв> молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m=10-8 г, находящейся среди молекул кислорода?

9.32. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул газа, если их средняя квадратичная скорость <Jкв>=1 км/с.

9.33. Определить наиболее вероятную скорость Jв молекул водорода при температуре T=400 К.

Элементы статистической физики

Основные формулы

Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n0e-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура; е — основание натуральных логарифмов.

Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

 Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l=cvr<J><l> или l=<J><l>,

где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <J> — средняя арифметическая скорость его молекулы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

Закон Фика

Dm= -Dm1SDt,

Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скорости J которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости Jв.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям u (u=J/Jв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

,  (1)

где N — полное число молекул.

Пример 4. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

,

  где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<J>=362 м/с.

Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5°С до t=1°C. Какую ошибку Dh в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

p=p0e-Mgh/(RT).

Барометр может показывать неизменное давление р при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2.

Задачи

Распределение Больцмана

10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на Dh =10 м? Температура воздуха Т=300 К.

10.2. Одинаковые частицы массой m=10-12 г каждая распределены в однородном гравитационном поле напряженностью G=0,2 мкН/кг. Определить отношение п1/п2 концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Dz= 10 м. Температура Т во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К.

Распределение молекул по скоростям и импульсам

10.15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости Jв.

10.16. Используя функцию распределения молекул по скоростям, получить функцию, выражающую распределение молекул по относительным скоростям и (u=J/Jв).

10.17. Какова вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от ½Jв не более чем на 1 %?

10.18. Найти вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от 2Jв не более чем на 1 %.

Распределение молекул по кинетическим энергиям

10.32. Найти выражение средней кинетической энергии <eв> поступательного движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

10.33. Преобразовать формулу распределения молекул по энергиям в формулу, выражающую распределение молекул по относительным энергиям w(w=eп/<eп>), где eп —кинетическая энергия; <eп> — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

10.34. Определить долю w молекул идеального газа, энергии которых отличаются от средней энергии <eп> поступательного движения молекул при той же температуре не более чем на 1 %.

Длина свободного пробега и число столкновений молекул

10.47. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул водорода при давлении p=0,1 Па и температуре Т=100 К.

10.48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <l> молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

10.49. Баллон вместимостью V=10 л содержит водород массой m=1 г. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул.

10.64. Определить зависимость диффузии D от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном.

10.65. Определить зависимость диффузии D от давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном.

10.66. Вычислить динамическую вязкость h кислорода при нормальных условиях.

10.67. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул, азота при условии, что его динамическая вязкость h=17 мкПа×с.

10.68. Найти динамическую вязкость h гелия при нормальных условиях, если диффузия D при тех же условиях равна 1,06×10-4 м2/с.

Графический метод решения физических задач.

Этот метод используется  при решении задач, в которых можно  построить график зависимости двух физических величин, произведение которых даёт значение другой искомой величины. Формально значение этой искомой величины будет равно площади фигуры, лежащей под графиком.  Так по графику скорости, как функции времени можно определить путь, пройденный телом за какое-то время; по графику зависимости давления газа от занимаемого им объёма – работу, совершённую газом при расширении; по графику зависимости силы тока от времени – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за некоторое время; по графику зависимости заряда конденсатора от напряжения на его обкладках – работу, совершённую источником тока по зарядке конденсатора и т.д.

Задача №26. Пассажир, опоздавший к поезду, заметил, что предпоследний вагон прошёл мимо него за t1 = 10 c, а последний – за t2 = 8 c. Считая движение поезда равноускоренным, определить время опоздания пассажира.

График зависимости скорости поезда от времени при его равноускоренном движении представлен на рис. 26. На графике отмечены интервалы времени прохождения предпоследнего t1 и последнего t2 вагонов. Нужно найти временной интервал t0, определяющий время опоздания пассажира. Следует отметить, что по графику скорости  пройденный телом путь определяется  площадью фигуры, лежащей под  графиком. Поскольку длины вагонов одинаковы, то одинаковы и расстояния, пройденные поездом за время t1 и t2, следовательно,  площади трапеций, высоты которых равны t1 и t2, должны быть равными, т.е. S1 = S2.

Площадь первой трапеции S1 = (V0 +V1)t1 / 2, а второй – S2 = (V1 + V2)t2 / 2 . Приравняв правые части этих равенств, получаем уравнение:

(V0  + V1)t1  = (V1 + V2)t2.   (5.1)  

Входящие в уравнение (5.1) значения скоростей поезда через интервалы времени t0, (t0 + t1) и (t0 + t1 + t2) можно записать по формуле скорости при  равноускоренном движении:   

Рис. 26.  V0 = a t0;  V1 = a (t0 + t1); V2 = a (t0 + t1 + t2). (5.2) 

  Подставив эти значения в (5.1) и произведя преобразования, получим выражение:

t0 = (t22 + 2t1t2  -  t12) / 2 (t1 – t2),  (5.3)

из  которого следует ответ задачи t0 = 31 c.


Кинематика гармонических колебаний