Силы тяготения Релятивистская масса и релятивистский импульс

Примеры решения задач по физике

Затухающие колебания

6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

6.57. За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания δ.

6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной l=1 м за время t=10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний Θ.

6.59. Логарифмический декремент колебаний Θ маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

6.60. Гиря массой т=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний Θ=0,004. Определить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в n=2 раза. За какое время t произойдет это уменьшение?

6.61. Тело массой т=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления b.

6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний Θ=0,628. Элементы квантовой механики Соотношение неопределенностей Современная трактовка корпускулярно-волнового дуализма может быть выражена словами: для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом.

6.63. Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в n=2 раза. Логарифмический декремент колебаний Θ=0,01.

Рис. 6.10

6.64. Тело массой т=1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления b=0,05 кг/с. С помощью двух одинаковых пружин жесткостью k=50 Н/м каждое тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не деформированы (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и

отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания δ; 2) частоту ν колебаний; 3) логарифмический декремент колебаний Θ; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.

Вынужденные  колебания. Резонанс

6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса?

6.66. Вагон массой т=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость k

пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υ вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8 м?

6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц. Определить частоту ν0 собственных колебаний, если резонансная частота νpeз=998 Гц.

6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν0=l кГц собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания δ=400 с-1.

6.69. Определить логарифмический декремент колебаний Θ колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты ν0=10 кГц на Δν=2 Гц.

6.70. Период Т0 собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν peз колебаний.

6.71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=2·10-2 кг/с. Определить коэффициент затухания δ и резонансную амплитуду Aрез, если амплитудное значение вынуждающей силы F0=10 мН.

6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда Aрез=0,5 см и частота ν 0 собственных колебаний равна 10 Гц.

6.73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте ν1=400 Гц и ν2=600 Гц равны между собой. Определить резонансную частоту νpeз. Затуханием пренебречь.

6.74. К спиральной пружине жесткостью k=10 Н/м подвесили грузик массой т=10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту ν0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту νpeз; 3) резонансную амплитуду Aрез, если вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и ее амплитудное значение F0= =0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием силы F0.

6.75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10 %? 2) в два раза? Коэффициент затухания δ в обоих случаях принять равным 0,1 ω0 (ω 0 — угловая частота собственных колебаний).

Волны в упругой среде. Акустика.

Основные формулы

Уравнение плоской волны

  , или  , где   — смещение точек среды с координатой х в момент времени t; ω — угловая частота; υ — скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость); k — волновое число; ; λ — длина волны.

 • Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой ν соотношениями   и

 •Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно Δx,

• Средняя объемная плотность энергии звукового поля

где ξ0 — амплитуда скорости частиц среды; ω — угловая частота звуковых волн.

Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V,

• Поток звуковой энергии

 ,

где W — энергия, переносимая через данную поверхность за время t.

• Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии)

Примеры решения задач

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью =15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда A=2 см. Определить: 1) длину волны ; 2) фазу  колебаний, смещение , скорость , и ускорение , точки, отстоящей на расстоянии х=45 м от источника волн в момент t=4 с; 3) разность фаз  колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях x1=20 м и x2=30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

T.

Подставив значения величин  и T, получим

=18 м.

2. Запишем уравнение волны:

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде

=Acos(t—kx). (1)

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на , то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

=Acos{t—k[x+2(l—x)]+ }

После очевидных упрощений получим

=Acоs[t—k (2l—х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:

=+=Acos(t—kx)— Acos[t—k(2l—x)].

Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

Пример 3. Источник звука частотой v=18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной = 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура T воздуха равна 290 К.

 Решение. Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости иист источника звука и скорости ипр прибора. Эта зависимость выражается формулой

где  — скорость звука в данной среде; v0 — частота звуковых волн, излучаемых источником.

Учитывая, что резонатор остается неподвижным (uпр=0), из формулы (1) получим , откуда

Задача № 5. Электрон влетает в область однородного электрического поля напряжённости 200 В/м со скоростью 107м/с. Определить, на каком расстоянии от места входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом 45ок направлению поля.

На электрон в электрическом поле действует сила F = eE. Здесь Е – вектор напряжённости электрического поля, е – заряд электрона. Так как заряд электрона отрицательный, то сила направлена против направления силовых линий электрического поля или против направления вектора напряжённости. Эта сила вызывает ускорение  

   а = F/m = Ee/m,  (1.41)

которое, как и сила, направлено против электрического поля (рис. 6). Направив ось ОХ вертикально, а ось ОУ горизонтально, получаем ситуацию равносильную движению материальной точки, брошенной под углом к горизонту в поле тяготения Земли.

Уравнения движения электрона будут иметь вид:

Х = (Vo sin α) t;  (1.42)

   У = (Vo cos α)t – at2/2.   (1.43)

Электрон покинет область поля в точке, имеющей координаты Х = Хmax  и У = 0. Определим время пребывания  t п электрона в электрическом поле из уравнения:

 0 = (Vo cos α)tп – atп2/2;   t п = (2Vo cos α)/a = (2mVo cos α)/Ee.  (1.44)

Тогда  Хmax = (2m Vo2 sin α cos α)/Ee = (m Vo2 sin 2α)/Ee,   (1.45)

Подставив  значения физических величин, данных в задаче (Vo,Е,α) и заимствованных из таблицы фундаментальных физических постоянных (е, m) получаем Хmax  = 2,8 м.


Кинематика гармонических колебаний