5.15. Частица
движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы
больше массы покоя?
5.16. С какой скоростью υ движется частица, если
ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя?
5.17. Отношение
заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88×1011
Кл/кг. Определить релятивистскую массу т электрона и его скорость υ.
5.18.
На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при скорости
υ=30 Мм/с?
5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса
переходит в соответствующее выражение импульса в классической механике при υ<<c.
5.20.
Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить релятивистский импульс
р электрона.
5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса
покоя). Определить скорость υ частицы (в долях скорости света). Сверхпроводимость
Камерлинг-Оннес обнаружил в 1911 г., что при температуре около 4 К электрическое
сопротивление ртути скачком уменьшалось до нуля. Дальнейшие исследования показали,
что аналогично ведут себя и многие другие металлы и сплавы.
5.22. В лабораторной
системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью
υ=0,8 с по направлению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую
массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в
системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу
частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.
5.23. В лабораторной
системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется
со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость
Vc центра масс системы частиц.
Взаимосвязь массы и энергии *
5.24.
Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса
тела?
5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела,
чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г?
5.26. Вычислить
энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях
и мегаэлектрон-вольтах.
5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109
км3. Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды
повысится на Δt=1 °С. Плотность р воды в океане принять равной 1,03·103
кг/м3.
5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии электромагнитного
излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца)
равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного
года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить,
что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излучения? При
расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·108 км2.
5.30. Во сколько
раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе
частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ?
5.31. Электрон
летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в
мегаэлектрон-вольтах).
5.32. При какой скорости υ кинетическая энергия
любой частицы вещества равна ее энергии покоя?
5.33. Определить скорость
VE электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ.
где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время;
А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний;
— фаза колебаний в момент t.
•
Угловая частота колебаний
• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
материальной точки
, или
, где m — масса точки; k — коэффициент
квазиупругой силы (k=тω2).
Чтобы выразить скорость через смещение, надо
исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем
оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе на A2 ω 2 и сложим:
, или
Решив последнее
уравнение относительно υ, найдем
Выполнив
вычисления по этой формуле, получим
см/с.
Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400
г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень колеблется
около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину
(точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.
Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками,
определяется соотношением
(1)
где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний;
т — его масса; lС — расстояние от центра масс маятника до оси.
Принимая
шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:
Так
как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой
оси J3= = . Подставив полученные
выражения J1 , J2 и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического
маятника:
Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень
длиной l= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром
и массой т1. Горизонтальная
ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис.
6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.
Решение. Период колебаний
физического маятника определяется по формуле
(1)
Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых
уравнениями ; х2= =,
где А1=1 см, A2=2 см, с, с, ω = =.
1. Определить начальные фазы φ1 и φ 2 составляющих колебаний.
Решение.
Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений
(1) и (2). Для этого восполь>зуемся формулой .
. Метод решения задач переходом в систему отсчёта,
связанную с одним из движущихся тел.
Переход в систему отсчета, связанную с одним из движущихся
тел, заключается в том, что это тело в его системе отсчёта становится
неподвижным, а его скорость и ускорение, направленные противоположно,
передаются второму телу. Пусть в неподвижной системе отсчёта два тела
А и В имеют скорости VA и VB, векторы которых направлены
как показано на рис. 12,а.
Скорость VBA тела В в системе отсчёта, связанной с телом
А, определится как векторная сумма векторов VB и ( -VA ), а скорость
тела А в этой системе становится нулевой (рис. 12,б).
Задача № 11. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью v.
Навстречу бежит тренер со скоростью u, причём u < v (рис. 13,а). Каждый
спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с
той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены
развернуться.
Задачу решаем в системе отсчёта, связанной с тренером. В
этой системе отсчёта тренер неподвижен, а спортсмены при беге навстречу тренеру
имеют скорость равную сумме скоростей (v + u) (рис. 13,б), а при беге от
тренера
(v–u) (рис.13,в). Время, за которое все спортсмены,
поравнявшись с тренером, повернут назад равно
t = L/ (v + u).
(2.1)
Расстояние, на которое удалится первый, поравнявшийся с
тренером спортсмен, за это время и будет определять новую длину колонны.
Спортсмены бегут от тренера со скоростью (v – u), поэтому
первый спортсмен за время t убежит на расстояние L1, которое определится по
формуле:
L1 = (v – u) t = L (v –u)/ (v + u). (2.2) Это и будет новой длиной колонны,
она станет короче.