Силы тяготения Релятивистская масса и релятивистский импульс Клиника для лечения спины в москве

Примеры решения задач по физике

Релятивистская масса и релятивистский импульс

5.15. Частица движется со скоростью υ=0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя?

5.16. С какой скоростью υ движется частица, если ее релятивистская масса в три раза больше массы покоя?

5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88×1011 Кл/кг. Определить релятивистскую массу т электрона и его скорость υ.

5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при скорости υ=30 Мм/с?

5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса переходит в соответствующее выражение импульса в классической механике при υ<<c.

5.20. Электрон движется со скоростью υ=0,6 с. Определить релятивистский импульс р электрона.

5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя). Определить скорость υ частицы (в долях скорости света). Сверхпроводимость Камерлинг-Оннес обнаружил в 1911 г., что при температуре около 4 К электрическое сопротивление ртути скачком уменьшалось до нуля. Дальнейшие исследования показали, что аналогично ведут себя и многие другие металлы и сплавы.

удары а5

5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью υ=0,8 с по направлению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.

5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется со скоростью υ=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость Vc центра масс системы частиц.

Взаимосвязь массы и энергии *

5.24. Полная энергия тела возросла на ΔE=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела?

5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Δm=1 г?

5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) α-частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.

5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37·109 км3. Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на Δt=1 °С. Плотность р воды в океане принять равной 1,03·103 кг/м3.

5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии электромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излучения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6·108 км2.

Кинетическая энергия релятивистской частицы

5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона.

5.30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ?

5.31. Электрон летит со скоростью υ=0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах).

5.32. При какой скорости υ кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя?

5.33. Определить скорость VE электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=4 МэВ; 2) T=1 кэВ.

Механические колебания

 Основные формулы

Уравнение гармонических колебаний

 

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний;  — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки

 , или   , где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k=тω2).

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

• Логарифмический декремент колебаний

 

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А2, второе на A2 ω 2 и сложим:

  , или  

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

  см/с.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m3=400 г укреплены шарики малых размеров массами m1=200 г и m2=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

  Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

  (1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; lС — расстояние от центра масс маятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J1 и J2 и стержня J3:

 (2)

Принимая  шарики за материальные точки, выразим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J3= = . Подставив полученные выражения J1 , J2 и J3 в формулу (2), найдем общий момент инерции фи- зического маятника:

 

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной l= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром  и массой т1. Горизонтальная ось Oz маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

  (1)

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями ; х2= =, где А1=1 см, A2=2 см,  с,  с, ω = =. 1. Определить начальные фазы φ1 и φ 2 составляющих колебаний.

2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

  (1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

  (2)

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых

  (1).

 (2)

где a1=1 см, A2=2 см, . Найти уравнение траектории точ- ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь>зуемся формулой  .

. Метод решения задач переходом в систему отсчёта,

связанную с одним  из движущихся тел.

Переход в систему отсчета, связанную с одним из движущихся тел, заключается в том, что это тело в его системе отсчёта становится неподвижным, а его скорость и ускорение, направленные противоположно, передаются  второму  телу.   Пусть  в  неподвижной  системе  отсчёта  два тела

 А и В имеют скорости VA и VB, векторы которых направлены как показано на рис. 12,а.

Скорость VBA тела В в системе отсчёта, связанной с телом А, определится как векторная  сумма  векторов  VB   и ( -VA ), а скорость  тела А  в  этой системе становится нулевой (рис. 12,б).

Задача № 11. Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u, причём u < v (рис. 13,а).  Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю  скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернуться.

Задачу решаем в системе отсчёта, связанной с тренером. В этой системе отсчёта тренер неподвижен, а спортсмены при беге навстречу тренеру имеют скорость  равную  сумме  скоростей  (v + u)  (рис. 13,б),  а  при  беге  от  тренера

(v–u) (рис.13,в). Время, за которое все спортсмены, поравнявшись с тренером, повернут назад равно

  t = L/ (v + u).  (2.1)

Расстояние, на которое удалится первый, поравнявшийся с тренером спортсмен, за это время и будет определять новую длину колонны.

Спортсмены бегут от тренера со скоростью (v – u), поэтому первый спортсмен за время t убежит на расстояние L1, которое определится по формуле:

 L1 = (v – u) t = L (v –u)/ (v + u). (2.2) Это и будет новой длиной колонны, она станет короче.


Кинематика гармонических колебаний