Силы тяготения Релятивистская масса и релятивистский импульс

Примеры решения задач по физике

Задачи

Силы тяготения. Гравитационное поле

4.1. Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на расстоянии r = 1 м друг от друга. Масса m каждого шара равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия шаров.

4.2. Как велика сила F взаимного притяжения двух космических кораблей массой m = 10т каждый, если они сблизятся до расстояния r = 100 м?

4.3 Определить силу F взаимного притяжения двух соприкасающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый.

4.4. На какой высоте h над поверхностью Земли напряженность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать известным.

4.5. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту h=3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за первую секунду своего падения?

4.6. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, ее масса М = 6,4·1023 кг. Определить напряженность g гравитационного поля на поверхности Марса. Полупроводниковые триоды (транзисторы) Односторонняя проводимость контактов двух полупроводников (или металла с полупроводником) используется для выпрямления и преобразования переменных токов. Если имеется один электронно-дырочный переход, то его действие аналогично действию двухэлектродной лампы—диода. Поэтому полупроводниковое устройство, содержащее один р-п-переход, называется полупроводниковым (кристаллическим) диодом.

4.7. Радиус Земли в n=3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в k=1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения gЛ на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать известным.

4.8. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность ρ=3 г/см3. Определить ускорение свободного падения g на поверхности планеты.

Офисные светодиодные светильники армстронг тут .

4.9. Масса Земли в n=81,6 раза больше массы Луны. Расстояние l между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R — радиус Земли). На каком расстоянии r (в единицах R) от центра Земли находится точка, в которой суммарная напряженность гравитационного поля Земли и Луны равна нулю?

4.10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте h=3,6 Мм. Определить линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными.

4.11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен

2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте А над поверхностью Земли движется спутник.

4.12. Стационарный искусственный спутник движется по окружности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую скорость ω спутника и радиус R его орбиты.

4.13. Планета Нептун в k=30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период Т обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца.

4.14. Луна движется вокруг Земли со скоростью υ1=1,02 км/с. Среднее расстояние l Луны от Земли равно 60,3 R (R — радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью υ2 должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью.

4.15. Зная среднюю скорость υ1 движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью υ2 движется малая планета, радиус орбиты которой в n=4 раза больше радиуса орбиты Земли.

4.16. Советская космическая ракета, ставшая первой искусственной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние rmin ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстояние rmax равно 1,31 а. е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Определить период Т вращения (в годах) искусственной планеты.

4.17. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис. 4.6). Определить время t, в течение которого будет падать ракета.

Указание. Принять, что, падая на Солнце, ракета движется по эллипсу, большая ось которого очень мало отличается от радиуса орбиты Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период обращения по эллипсу не зависит от эксцентриситета.

 4.18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь вокруг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстояние r планеты Марс от Солнца равно 1,5 а. е. В течение какого времени t будет лететь ракета до встречи с Марсом?

4.19. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом ε=0,5. Во сколько раз линейная скорость спутника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)?

Указание. Применить  закон сохранения момента импульса.

4.31. Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность ρ вещества планеты равна 3 г/см3. Определить параболическую скорость υ2 у поверхности этой планеты.

4.32. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью υ0= 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными.

4.33. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью υо=15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.

4.34. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практически можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость υ будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равна среднему расстоянию Земли от Солнца?

Модуль упругости. Жесткость

4.43. К вертикальной проволоке длиной l=5 м и площадью поперечного сечения S=2 мм2 подвешен груз массой m=5,1 кг. В результате проволока удлинилась на x=0,6 мм. Найти модуль Юнга Е материала проволоки.

4.44. К стальному стержню длиной l=3 м и диаметром d=2 см подвешен груз массой m=2,5×103 кг. Определить напряжение σ в стержне, относительное ε и абсолютное х удлинения стержня.

4.45. Проволока длиной l=2 м и диаметром d=l мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m=1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h=4 см. Определить модуль Юнга Е материала проволоки.

Работа упругой силы.

Задача №2. Тело А свободно падает с высоты h, тело В, находящееся на расстоянии L от предполагаемой точки падения тела А, бросают так, чтобы оно в полёте столкнулось с телом А. Под каким углом α к горизонту нужно бросить тело В и с какой скоростью, чтобы столкновение было возможным.

  Начало координат совмещаем с точкой, в которой находится тело В (рис. 3).

Записываем уравнения движения тел.  

Для тела А: ХА = L;  (1.21)  

УА = Н - gt2/ 2.  (1.22)

Для тела В:

Хв = ( V0 cos α) t;   (1.23)

   Ув =  ( V0 sinα) t – gt2/2.   (1.24)

При столкновении  ХА =  Хв;  УА =  Ув, приравняв правые части  (1.21) и (1.23), а также (1.22) и (1.24) получим уравнения:

   L =  ( V0 cos α) t;   (1.25)

Н - gt2/ 2 = ( V0 sinα) t – gt2/2 или Н = ( V0 sinα) t.  (1.26)

Разделив (1.26) на (1.25), получим соотношение

  H / L = sinα / cos α = tg α,  откуда  α = arc tg H/L.   (1.27)

Выражение (1.27) показывает, что вектор  V0 скорости тела В должен быть направлен точно в точку, где в начальный момент находится тело А. Только в этом случае возможно столкновение тел А и В.

Минимальная величина  этой скорости должна быть такой, чтобы тело В за время  падения тела А с высоты Н смогло пролететь по оси Х расстояние равное L, в этом случае столкновение тел произойдёт в точке падения тела А.  Уравнения движения тел примут вид:

для тела А:  0 = Н – gt п2/ 2;   (1.28)

для тела В:  L = ( V0 cos α) tп.  (1.29)

Здесь tп – время свободного падения тела А. Решив систему уравнений (1.28) и (1.29) относительно  V0 , получим выражение

V0 = [g (H2 + L2) / 2H]1/2  (1.30)

При всех начальных скоростях тела В больших значения, определяемого соотношением (1.30), столкновение тел А и В происходит обязательно, и чем больше значение  V0, тем координата У точки столкновения будет больше, конечно, если вектор начальной скорости направлен под углом к горизонту, определяемым соотношением (1.27).


Кинематика гармонических колебаний