Закон Кулона Напряженность поля точечных зарядов

Примеры решения задач по физике

Задачи

Напряженность поля точечных зарядов

14.1. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q=10 нКл на расстоянии r=10 см от него. Диэлектрик — масло.

14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q1=+8 нКл и Q2= –5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напряженность, если второй заряд будет положительным?

14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=10 нКл и Q2= –20 нКл, находящимися на расстоянии d=20 см друг от друга. Определить напряженность E поля в точке, удаленной от первого заряда на r1=30 см и от второго на r2=50 см.

14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными зарядами Q1=9Q и Q2=Q равно 8 см. На каком расстоянии г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

14.5. Два точечных заряда Q1=2Q и Q2= –Q находятся на расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю, Равновесие механической системы Из выражения (1.37) следует, что при постоянной величине полной энергии кинетическая энергия частицы может возрастать только за счет уменьшения потенциальной энергии. Поэтому, если потенциальная имеет минимальное значение, не измениться без внешнего воздействия

14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=40 нКл и Q2= –10 нКл, находящимися на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удаленной от первого заряда на r1=12 см и от второго на r2=6 см.

Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере

14.7. Тонкое кольцо радиусом R=8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью t=10 нКл/м. Какова напряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=10 см?

14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с поверхностной плотностью s=1,нКл/м2. Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы.

14.9. На металлической сфере радиусом R=10 см находится заряд Q=l нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии r1=8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии r2=15 см от центра сферы. Построить график зависимости E от r.

14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R1=6cм и R2=10 см несут соответственно заряды Q1=1 нКл и Q2= –0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках. отстоящих от центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см, r3=15 см. Построить график зависимости Е(r).

Напряженность поля заряженной линии

14.11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность t заряда, если напряженность E поля на расстоянии а=0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.

14.12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволоками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Проволоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью |t|=^150. мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точке, удаленной на r=10 см как от первой, так и от второй проволоки?

14.13. Прямой металлический стержень диаметром d=5 см и длиной l=4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q=500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а=1 см от его поверхности.

Напряженность поля заряда, распределенного по объему

14.27. Эбонитовый сплошной шар радиусом R=5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью p=10 нКл/м3. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках: 1) на расстоянии r1=3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r2=10 см от центра сферы. Построить графики зависимостей Е(r) и D(r).

Сила, действующая на заряд в электрическом поле

14.36. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью t=2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на расстоянии r=1 см, малом по сравнению с ее длиной, находится точечный заряд Q=0,1 мкКл. Определить силу F, действующую на заряд.

14.37. Большая металлическая пластина несет равномерно распределенный по поверхности заряд (s=10 нКл/м2). На малом расстоянии от пластины находится точечный заряд Q=100 нКл. Найти силу F, действующую на заряд.

14.38. Точечный заряд Q=l мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность s заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F=60 мН.

Потенциал. Энергия и системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле.

Основные формулы

· Потенциал электрического поля есть величина, равная отношению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду;

j=П/Q,

или потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду:

j=A/Q.

· Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, ..., Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

,

где ji — потенциал поля, создаваемого всеми п–1 зарядами (за исключением 1-го) в точке, где расположен заряд Qi.

· Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением

Е= –gradj.

Решен и е. Положим, что первый заряд Q1 остается неподвижным, а второй Q2 под действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Q1, приближаясь к нему с расстояния r1=t,5 м до r2=1 м.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки поля с потенциалом j1 в другую, потенциал которой j2, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

А'= —А.

Работа А сил поля по перемещению заряда A=Q(j1—j2). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде

A'= –Q(j1—j2)=Q(j2—j1). (1)

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

; .

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение

j1—j2=El, (2)

где Е — напряженность поля; l — расстояние между эквипотенциальными поверхностями.

Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E=s/e0. Подставив это выражение Е в формулу (2) и затем выражение j1—j2 в формулу (1), получим

A=Q(s/e0)l.

Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью t=10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал j электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кривизны дуги. Длина l нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ=tdl, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

Пример 4. Электрическое поле создана длинным цилиндром радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью t=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях a1=0,5 см и а2=2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е= —gradj. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Е= –(dj/dr), или dj= —Еdr.

Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу

, (1)

справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить стержень на элементарные отрезки dl, то заряд tdl, находящийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, получим

,  (2)

где r — расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня.

Из рис. 15.3 следует, что dl=(rda/cosa). Подставив это выражение dl в формулу (2), найдем.

Пример 6. Электрон со скоростью v=1,83×106 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией Ei=13,6 эВ*? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией T, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации Ei, т. е. W+T=Ei. Выразив в этой формуле W=eU и Т =(mv2/2), получим eU+(mv2/2)=Ei. Отсюда.

Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к применению в физике.

 Пример 8. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U0=10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов Ul=100 В, по линии АВ, параллельной пластинам (рис. 15.4). Расстояние d между пластинами равно 2 см. Длина l1 пластин конденсатора в направлении полета электрона, равна 20 cм. Определить расстояние ВС на экране Р, отстоящем от конденсатора на l2=1 м.

Пример 10. Рассчитать с помощью формулы Вейцзеккера энергию связи Са40.

Решение. Полуэмпирическая формула Вейцзеккера позволяет найти энергию связи ядра по его значениям А и Z:

Eсв=14A - 13A2/3 - 0,584Z2/A1/3 - 19,3.

Для ядра Ca40 d = -1.

Eсв = 14×40 - 13×402/3 - 0,58×202/402/3 – 19,3(40-40)/20 - 33,5×(-1)/403/4 = 342 МэВ.

Ответ: Е. = 342 МэВ.


Закон Кулона решение задач