Физические основы механики Второй закон Ньютона

Примеры решения задач по физике

 Сила трения скольжения

Fтр=fN,

где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

• Координаты центра масс системы материальных точек

,,

где mi — масса i-й материальной точки; xi, yi;, zi; — ее координаты.

Закон сохранения импульса

 или

где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

, или ,

где  — угол между направлениями векторов силы F и перемещения r.

• Работа, совершаемая переменной силой,

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L.

• Средняя мощность за интервал времени t

.

• Мгновенная мощность

, или N=Fvcos,

где dA — работа, совершаемая за промежуток времени dt.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся поступательно,

T=mv2/2, или T=p2/(2m).

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением

F= - grad П или ,

где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда

* См. сноску на с. 19.

поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой пружины)

П=kx2/2.

  Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m1, и т2, находящихся на расстоянии r друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П=mgh,

Пример 2. В лифте на пружинных весах находится тело массой т=10 кг (рис. 2.2, а). Лифт движется с ускорением а=2 м/с2. Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.

Решение. Определить показания весов — это значит найти вес тела G, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.

G= — N, или G=N. (1)

Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры N.

Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе отсчета.

Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести Р и сила N.

Пример 3. При падении тела с большой высоты его скорость vуст установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время , в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной 1/2 vуст. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.

Решение. На падающее тело действуют две силы (рис. 2.3, а):

сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха Fc.

Рис. 2.3

Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорциональна скорости тела и противоположна ей по направлению:

Fc=-kv,  (1)

где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и от свойств окружающей среды.

Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме: . Заменив Fc согласно (1), получим

Пример 4. Шар массой m=0,3 кг, двигаясь со скоростью v=10 м/с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом   =30° к нормали. Определить импульс р, получаемый стенкой.

Решение. Сначала проанализируем условие задачи. Стенка неподвижна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной. Удар о стенку упругий; следовательно, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии. Из него, учитывая, что масса стенки много больше массы шара, следует равенство модулей скоростей шара |v| до и |u| после удара.

Покажем, что угол ' отражения шара от стенки равен углу  падения шара. Спроецируем векторы v и u на координатные оси Ох и Оу (рис. 2.4). Так как стенка гладкая, то uy=vy. Учитывая, кроме того, что |u]= |v|, получим ux=-vx а отсюда следует равенство углов падения и отражения ('=).

Для определения импульса, полученного стенкой, воспользуемся законом сохранения импульса. Для нашего случая этот закон можно записать в виде

где — импульсы шара до и после удара . Отсюда импульс, полученный стенкой,

Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.

Рис. 2.5

Решение.  1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае также будет двигаться равномерно. Поэтому перемещение лодки относительно берега определим по формуле s=vt (1)

где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное.

Пример 6. Два шара массами m1=2,5 кг и m2==1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями v1=6 м/с и v2=2 м/с. Определить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии

шаров T1 до и Т2 после удара; 3) долю кинетической энергии  шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим.

Решение. 1. Неупругие шары не восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара будут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары движутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме:

m1v1+т2v2=(т1+m2)и,

 откуда

u=( m1v1+т2v2)/(т1+m2).

Направление скорости первого шара примем за положительное, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус:

u=(2,5 6—1,5 2)/(2,5+1,5) м/с=3 м/с.

Пример 8. Молот массой m1=200 кг падает на поковку, масса т2, которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость v1 молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию T1 молота в момент удара; 2) энергию Т2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия  (КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий.

Решение. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле T=m1v12/2. Подставив значения т1 и v1 и произведя вычисления, получим

T1=400 Дж.

Пример 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой т1 =500 кг падает на сваю массой m2=100 кг со скоростью v1=4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию T1 бойка в момент удара; 2) энергию T2, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинетическую энергию Т, перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД  удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий.

Решение. 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле T1=m1v12/2. Подставив значения m1, и v1 и произведя вычисления, получим

T1=(500× 42)/2 Дж=4000 Дж=4 кДж.

2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек — свая непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой

т1v1+m2v2=(m1+m2)u,  (1)

Пример 2. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 0,6 кг, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза.

Дано: m=0,6 кг, Т/Т0=2.

Найти: m0.

Решение. Рассматривая груз на пружине как пружинный маятник, запишем формулы для расчета периода колебаний такого маятника с исходным грузом m0:

 

и после добавления груза массой m:

  .

Cледовательно,

   .

Выражая из последней формулы m0, получим:

   .

Произведем расчет искомой величины:

   .

Ответ: m0=0,2 кг


Физика решение задач Работа и энергия