Закон Кулона Напряженность поля точечных зарядов

Примеры решения задач по физике

Круговые процессы. Термический КПД.

Цикл Карно

11.53. В результате кругового процесса газ совершил работу А=1 Дж и передал охладителю количество теплотыQ2=4,2 Дж. Определить термический КПД η цикла.

11.54. Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты Q1=4 кДж. Определить работу А газа при протекании цикла, если его термический КПД η=0,1.

11.55. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества ν=l моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем Vmin=l0 л, наибольший Vmax=20 л, наименьшее давление pmin=246 кПа, наибольшее pmax=410 кПа. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД η.

11.56. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества ν=l кмоль, совершает замкнутый цикл, график которого изображен на рис. 11.4. Определить: 1) количество теплоты Q1, полученное от нагревателя; 2) количество теплоты Q2, переданное охладителю; 3) работу А, совершаемую газом за цикл; 4) термический КПД η цикла.

11.57. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества ν=l моль и находящийся под давлением p1=0,1 МПа при температуре T1=300 К, нагревают при постоянном объеме до давления p2=0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема V1. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД η.

11.58. Одноатомный газ, содержащий количество вещества ν=0,1 кмоль, под давлением p1=100 кПа занимал объем V1=5 м3. Газ сжимался изобарно до объема V2=1 м3, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной температуре до начальных объема и давления. Построить график процесса. Найти: 1) температуры T1, T2, объемы V1, V2 и давление p3, соответствующее характерным точкам цикла; 2) количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя; 3) количество теплоты Q2, переданное газом охладителю; 4) работу А, совершенную газом за весь цикл; 5) термический КПД η цикла. Угловая скорость и угловое ускорение. Пройденный путь S , перемещение dr, скорость v тангенциальное и нормальное ускорение at, an, представляют собой линейные величины. Для описания криволинейного движения наряду с ними можно пользоваться угловыми величинами.

11.59. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД η цикла.

11.60. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества теплоты Q1, полученного от нагревателя, отдает охладителю. Температура Т2 охладителя равна 280 К. Определить температуру T1 нагревателя.

11.61. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T2 охладителя равна 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла. если температура нагревателя повысится от T’1=400 К до Т''2=600 К?

11.62. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя в три раза выше температуры Т2 охладителя. Нагреватель передал газу количество теплоты Q1=42 кДж. Какую работу А совершил газ?

11.63. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя равна 470 К, температура Т2 охладителя равна 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу A=100 Дж. Определить термический КПД η цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает охладителю при изотермическом сжатии.

11.64. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура T1 нагревателя в четыре раза выше температуры Т2 охладителя. Какую долю ω количества теплоты, получаемого за один цикл от нагревателя, газ отдает охладителю?

11.65. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты Q1=4,2 кДж, совершил работу А=590 Дж. Найти термический КПД η этого цикла. Во сколько раз температура T1 нагревателя больше температуры Т2 охладителя?

11.66. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа A1 изотермического расширения газа равна 5 Дж. Определить работу A2 изотермического сжатия, если термический КПД η цикла равен 0,2.

11.67. Наименьший объем V1 газа, совершающего цикл Карно, равен 153 л. Определить наибольший объем V3, если объем V2 в конце изотермического расширения и объем V4 в конце изотермического сжатия равны соответственно 600 и 189 л.

11.68. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график которого изображен на рис. 11.5. Объемы газа в состояниях В и С соответственно V1=12 л и V2=16 л. Найти термический КПД η цикла.

Энтропия

11.69. Смешали воду массой m1=5 кг при температуре T1=280 К с водой массой m2=8 кг при температуре Т2=350 К. Найти: 1) температуру θ смеси; 2) изменение ΔS энтропии, происходящее при смешивании.

11.70. В результате изохорного нагревания водорода массой m=l г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изменение ΔS энтропии газа.

11.71. Найти изменение ΔS энтропии при изобарном расширении азота массой m=4 г от объема V1=5 л до объема V2=9 л

11.72. Кусок льда массой m=200 г, взятый при температуре t1=-10 °С, был нагрет до температуры t2=0 °С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры t=10 °С. Определить изменение ΔS энтропии в ходе указанных процессов.

· Внутренняя энергия реального газа

,

где СV — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

· Поверхностное натяжение

σ=F/l,

где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости, или

,

Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку,

где r — радиус трубки; l – ее длина; Δp – разность давлений на концах трубки; η – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

· Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

,

Примеры решения задач

Пример 1. В баллоне вместимостью V=8 л находится кислород массой m=0,3 кг при температуре T=300 К. Найти, какую часть вместимости сосуда составляет собственный объем молекул газа.

Определить отношение внутреннего давления р' к давлению р газа на стенки сосуда.

Решение. Для получения ответа на первый вопрос задачи необходимо найти отношение

k=V¢/V, (1)

где V•— собственный объем молекул.

Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоянной b Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся в одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса

Пример 2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v=l моль находится в критическом состоянии. При изобарном нагревании газа его объем V увеличился в k=2 раза. Определить изменение DТ температуры газа, если его критическая температура Ткр=304 К.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление р, молярный объем Vm и температура T реального газа с соответствующими критическими параметрами представлены в виде следующих отношений:

.

Из этих равенств получим:

.

Пример 4. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Определить также работу А, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление р=2×2s/r, где r — радиус пузыря. Так как r=d/2, то

p=8s/d.

Пример 6. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (рис. 12.2) и бьет из отверстия II—II со скоростью v2=12 м/с. Диаметр D бака равен 2 м, диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость v1 понижения воды в баке; 2) давление p1, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h1 уровня воды в баке и высоту h2 струи, выходящей из фонтана.

Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости .от размеров в формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Задачи

Уравнение Ван-дер-Ваальса

12.1. В сосуде вместимостью V=10 л находится азот массой m=0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление р' газа: 2) собственный объем V¢ молекул.

12.2. Определить давление р, которое будет производить кислород, содержащий количество вещества n=l моль, если он занимает объём V=0,5 л при температуре T=300 К. Сравнить полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению Менделеева — Клапейрона.

12.3. В сосуде вместимостью V=0,3 л находится углекислый газ, содержащий количество вещества n=l моль при температуре Т=300 К. Определить давление р газа: 1) по уравнению Менделеева — Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

Внутренняя энергия

12.21. Определить внутреннюю энергию U азота, содержащего количество вещества n=l моль, при критической температуре Ткр=126 К. Вычисления выполнить для четырех значений объемов V:1) 20л;2) 2л,3) 0,2л;4)Vкр.

12.22. Кислород, содержащий количество вещества n=l моль, находится при температуре Т=350 К. Найти относительную погрешность e в вычислении внутренней энергии газа, если газ рассматривать как идеальный. Расчеты выполнить для двух значений объема V: 1) 2 л; 2) 0,2 л.

Гидродинамика

12.45. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость v1 воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость v2 в узкой части трубы, диаметр d2 которой в 1,5 раза меньше диаметра d1 широкой части.

12.46. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью v1=2 м/с. Определить скорость v2 нефти в узкой части трубы, если разность Dр давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа.

Метод решения обратной задачи.

 Многие физические явления, изучаемые в школьном курсе физики, рассматриваются в идеальных условиях. При рассмотрении механических явлений часто пренебрегают сопротивлением среды, трением, рассеянием энергии, поэтому такие явления носят обратимый характер. Для  таких случаев направление прямого процесса можно заменить обратным процессом.

Задача № 52. С какого расстояния S от центра полусферы радиуса R =1,35 м, с какой скоростью и под каким углом β нужно бросить маленькую шайбу (из положения 1), чтобы она, попав на полусферу, остановилась на её вершине (положение 2) (рис.56,а)? Трением шайбы о полусферу и сопротивлением воздуха  пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с2.

  Сформулируем обратную задачу: на каком расстоянии S от центра полусферы, с какой скоростью V и под каким углом β упадёт шайба, скатывающаяся с вершины полусферы радиуса R (рис. 56,б)? Трением шайбы о поверхность полусферы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим, с какой скоростью V0, под каким углом α к горизонту и с какой высоты от уровня основания полусферы (R cosα) отрывается шайба от поверхности полусферы.  Точка отрыва лежит ниже вершины на расстоянии равном h, поэтому скорость шайбы в момент отрыва определится по формуле:  V0 = (2gh)1/2. (9.31)

В момент отрыва шайбы от поверхности сферы сила реакции опоры становится равной нулю, сила трения равна нулю по условию, поэтому единственной силой, действующей на шайбу в этот момент, является сила тяжести. Точка отрыва шайбы является точкой перехода её траектории  с дуги окружности радиуса R на параболическую кривую. Составляющая силы тяжести, действующая вдоль радиуса, является силой, сообщающей шайбе центростремительное ускорение, поэтому скорость шайбы в момент отрыва можно определить по второму закону Ньютона:

mg cos α = m V02/R, откуда   V0 = (gR cosα)1/2.  (9.32)

Так как  h = R(1 – cosα) (рис. 56,б), то:  V0 = [2gR (1 - cosα)]1/2. (9.33)

Приравняв правые части равенств (9.32) и (9.33) определим косинус угла α, под которым направлен вектор V0:   cos α = 2/3.                                                (9.34)

Подставив значение  cos α в одно из уравнений (9.32) или (9.33), получаем значение скорости в момент отрыва шайбы:

                       V0 = (2gR /3)1/2 = (2 .10 .1,35 : 3)1/2 = 3 м/с.                                       (9.35)

        Запишем уравнения движения шайбы после её отрыва в координатной форме, направив оси координат Х и У так, как показано на рис. 56,б:

                                             Х = Voxt = (Vo cosα)t;                                                    (9.36)

                                             Y = Voyt + gt2/2 = (Vo sin α)t +gt2/2                              (9.37)

При t = tп – времени полёта шайбы до точки падения,        X = Xmax, a

Y = R cos α = 1,35 . 2/3 = 0,9 м. Определим sin α = (1 – cos2α)1/2 = (1 – 4/9)1/2 = 51/2/3.

После подстановки tп в уравнение (9.37) оно примет вид:

                                    0,9 = 51/2tп + 5tп2,                                                                   (9.38)

откуда                             tп = (51/2 + 231/2)/10 = 0,7 с.

Подставив значение tп в (9.36) определим Xmax = (Vo cosα)tп = 3 . 2/3 . 0,7 = 1,4 м.

Точка падения шайбы лежит от центра полусферы на расстоянии

                                      S = Xmax + R sin α = 1,4 + 1,35 . 51/2/3 = 2,41 м.

Точка падения шайбы будет той точкой, откуда нужно бросить шайбу, чтобы она остановилась на вершине полусферы.  Теперь определим скорость, с которой нужно бросить шайбу. Она будет равна скорости V, с которой шайба падает на горизонтальную поверхность:

                                          V = (Vox2 + Vy2)1/2 .                                                            (9.39)

Vox = Vo cosα = 3 . 2/3 = 2 м;     Vy = Vo sin α + gtп = 3 . 51/2/3 + 10 . 0,7 = 9,24 м/с, подставив эти значения в (9.39), получим значение скорости

                                          V = (22 + 9,242)1/2 = 9,45 м/с.

И, наконец, определим угол, под которым нужно направить вектор скорости V при бросании шайбы. Он будет равен углу β, под которым шайба падает на горизонтальную поверхность.

                                         tg β = Vy / Vox = 9,24/ 2 = 4,62;    β = 77,8o.

Таким образом, чтобы шайба, будучи брошенной, остановилась на вершине полусферы радиуса 1,35 м. её нужно бросить с расстояния 2,41 м от центра полусферы, со скоростью 9,45 м/с под углом 77,8о к горизонтальной поверхности, на которой расположена полусфера.


Закон Кулона решение задач