Качественное исследование видимой части спектра Элементы земного магнетизма Законы сохранения в механике Интерференция света Естественный и поляризованный свет Оптическая пирометрия Полярные и неполярные диэлектрики

Физика лабораторные работы

Лабораторная работа N102

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

 Измерение физических величин

Физическими величинами называются характеристики свойств тел или процессов, которые могут быть определены количественно при помощи измерений. Измерение представляет собой познавательный процесс. заключающийся в сравнении данной величины опытным путем с некоторым ее значением, условно принятым за единицу измерения.

Измерения разделяют на прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или же при помощи приборов, отградуированных в требуемых единицах. При косвенных измерениях искомая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с ней функциональной зависимостью.

Измерение любой физической величины обычно связано с выполнением трех последовательных операций:

а) проверкой и установкой приборов,

б) наблюдением и отсчетом их показаний,

в) вычислением искомой величины из результатов измерений и оценки точности окончательного результата.

Измеряя какую-нибудь физическую величину, мы принципиально не можем получить ее истинное значение. Поэтому в задачу измерений входит определение наиболее достоверного значениия искомой величины и обоснованная оценка допущенных при этом ошибок. Без оценки ошибок измерений нельзя делать определенные выводы из эксперимента.

Классификация ошибок измерений

Ошибкой или погрешностью называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. По характеру и происхождению, а также по способам оценка и уменьшений их влияния на результат различают три вида ошибок; промахи, случайные и систематические ошибки.

Промахи - это грубые ошибки, обусловленные неверными отсчетами, неверными записями показаний прибора или резко изменившимися внешними условиями эксперимента. Обычно результаты, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от других данных и хорошо заметны на их фоне. Имеются правила, позволяющие исключать их из таблицы измерений.

Случайными ошибками называются ошибки природа и величина которых неизвестна. Их присутствие обнаруживается в том, что при повторных измерениях одной и той же величины с одинаковой тщательностью получаются числовые результаты, несколько отличающиеся по последним значащим цифрам.

Случайные погрешности отдельных измерений не могут быть исключены опытным путей. Теория ошибок, как увидим далее, дает два способа уменьшения их влияния на окончательный результат в серии измерений:

1) тщательное проведение отдельных измерений о возможно малым разбросом результатов;

2) выполнение большого числа измерений в серии.

Систематическими ошибками называются ошибка, которые при повторных измерениях одной и той же величины сохраняются постоянными или изменяются по определенному закону. Они вызывают смещение, сдвиг ΔХ результатов в каком-то направлении  от истинного значения. Систематические ошибки часто возникают из-за того, что условия эксперимента отличаются от предполагаемых теорией, а поправку на это несоответствие не делают. Другим обычным источником этих ошибок являются инструментальные погрешности, обусловленные несовершенством изготовления средств измерения, например, неточностью градуировки шкалы прибора, неравноплечностью весов и т.п.

Систематическую ошибку модно выявить либо путем использования более точных средств измерения, либо изменив сам метод измерения.

Оценки точности измерений

По форме числового выражения различают абсолютные и относительные ошибки.

Абсолютная ошибка измерения - это ошибка, выраженная в единицах измеряемой величины. Количественно она определяется разностью между подученным при измерении значением величины Xi и ее истинным значением X0:

 . (1)

Чем меньше погрешность измерения, тем оно точнее.

Отношение ошибки измерения к истинному значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю) называется относительной ошибкой измерения:

 или  (2)

Она является величиной безразмерной, показывает, какую долю измеряемой величины составляет ошибка и обычно выражается в процентах.

Указание относительных ошибок приобретает особое значе-ние оттого, что позволяет сравнивать качество измерений величин разных наименований и порядков. Например, по относительным погрешностям можно сопоставлять точность измерения массы и длины, размеров микро- и макрообъектов.

Под точностью измерения понимают качество измерения, отражающее близость результата к истинному значению измеряемой величины. Точность измерения количественно характеризуется числом, равным обратному значению относительной погрешности, выраженной в долях измеряемой величины. Например, если погрешность измерения составляет ε=2·10-5, то точность этого измерения будет 5·104.

Результат измерения модно было бы записать в виде

 

однако истинная ошибка  нам неизвестна, так как неиз -вестно истинное значение измеряемой величины Хо.

Поэтому обычно производят несколько (n раз) измерений искомой величины, и в качестве результата наиболее близкого к хо принимают их среднее арифметическое

. (3)

Под истинным значением измеряемой величины подразумевают

 (4)

Теория ошибок по результатам отдельных измерений позволяет вычислить пределы ±  вблизи , внутри которых может находиться - с любой заданной вероятностью δ. Результат измерения представляют в форме

  при . (5)

Эта запись означает, что истинное значение  с вероятностью  находится внутри доверительного интервала 

Методы учета инструментальных погрешностей

Наиболее распространенными систематическими ошибками являются инструментальные (приборные) погрешности. Количественно они характеризуются предельной допустимой основной погрешностью Δпр- практически наибольшей по абсолютной величине воз­можной разностью между показанием (единичным) прибора и истинным значением измеряемой величины. В большинстве случаев Δпр определяется классом точности прибора или указывается в инструкции по его применению.

Например, у электроизмерительных приборов класс точности равен отношению погрешности Δпр к номинальному (наибольшему) значению шкалы (приведенная погрешность) и обозначается одним из чисел, в %: 0.05; I; 0.2; 0,5; 1.0; 1.5; 2.5; 4. В данном случае, зная класс точности прибора и номинальное значение шкалы, можно определить погрешность Δпр, которую мы вынуждены считать постоянной по всей шкале прибора. Так, миллиамперметр класса 0,5 с полной шкалой на 150 мА измеряет пропускаемый ток с ошибкой, не превышающей

Для приборов, отградуированных по образцовым мерам, базой для определения систематической погрешности яв-ляется оценка ошибки отсчета, которая возможна для данной шкалы измерительного средства. Исследованиями установлено: а) только отсчеты 0; 0,5; и 1,0 наименьшего деления шкалы оцениваются с высокой точностью и постоянством, б) за погрешность отсчета может быть принята половина цены наименьшего деления шкалы. Так, например, секундомер имеет наименьшее деление шкалы 0,2 с; точный отсчет десятых долей этого деления невозможен из-за конечной толщины стрелки; систематическую погрешность можно принять равной 0.1с.

В лабораторной практике часто встречаются систематические погрешности, обусловленные свойствами измеряемого объекта, например, отклонениями от формы поверхности (неплоскостность, некруглость и т.д.) измеряемой детали, неоднородностью материала и т.п. Они могут быть переведены в случайные погрешности путем многократных измерений в различающихся условиях ( в различных местах, сечениях). Такой прием превращения систематической ошибки в случайную называется рандомизацией. Метод позволяет практически исключить многие неизвестные систематические погрешности и широко используется на практике. В заключение отметим, что никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно проводить повторное кон­трольное измерение. Если результаты совпадает, на этом можно остановиться и за ошибку принять приборную погрешность Δпр, когда она неизвестна - половину цены наименьшего деления шкалы. При ответственных измерениях необходимо предварительно отградуировать прибор.

Если результаты измерений различаются, то следует предпринять целую серию повторных измерений с тем, чтобы вклад случайных погрешностей в общую ошибку стал меньше той, которую дает прибор.

Равноправный учет влияния систематических и случайных погрешностей на результат измерения будет дан ниже после ознакомления с теорией случайных ошибок.

Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие событиям массового характера.

Случайным называют событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть. В одних и тех же доступных наблюдению условиях оно может произойти или не произойти.

В основе теории вероятностей лежит закон больших чисел (теорема Чебышева), утверждающий, что при достаточно большом числе случайных событий их средний результат теряет свою случайность и может быть предсказан с достаточной точностью.

Закономерности, которым подчиняются массовые случайнее явления, называются статистическими, они имеют объективный

- 9 -

Характер, присущий всем явлениям внешнего мира.

Количественной оценкой возможности осуществления случайного события является его вероятность. Согласно классическому определению, вероятностью Р (А) некоторого события А называемся отношение числа случаев m, благоприятствующих его появлению к полному числу равновозможных случаев n , т.е.

 mn (6)

Например, пусть бросается кубик, грани которого занумерованы числами 1,2,3,4,5,6. Какова вероятность выпадения номера 2? Из соображения симметрии следует, что n=6, а m=I. Следовательно, вероятность события Р (2) =1/6.

Существует другой способ оценки вероятности случайного события - оценка при помощи опыта. Основной характеристикой случайного события является относительная частота  его появления в определенных условиях, т.е. отношение числа m случаев, при которых данное событие произошло, к общему числу n наблюдений (возможных случаев), если последнее достаточно велико. Опыт показывает, что частота появления случайного события является более или менее устойчивой при различных сериях наблюдений. Например, при одном бросании кубика (единичное событие) выпадение определенного числа (2) будет событием случайным. Однако если опыт повторить много раз и учесть общее число бросаний n и число выпадений номера (2) (m). то относительная частота появления этого события   будет близка к 1/6, т.е. .

Согласно статистическому определению, вероятностью события А называется предел, к которому стремится относительная частота при неограниченном увеличении числа испытаний

 (7)

Вероятность произвольного события заключается между нулем и единицей .

Случайные величины

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от тех или иных, не поддающихся учету обстоятельств может принимать различные численные значения.

К таким величинам относятся, например, скорость хаотического движения молекулы газа, число радиоактивного распада атомов за данный промежуток времени, ошибка измерения физической величина и т.п.

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретной называется случайная величина,

принимающая только отдельные числовые значения (например, число молекул в данный момент в некотором элементе объема газа, результаты отдельных измерений Х и т.п.)

Для того, чтобы полностью охарактеризовать случайную дискретную величину, надо перечислить все ее возможные значения и их вероятности. Зависимость между значениями случайной величины Х и их вероятностями

Р(X) представляет закон распределения вероятностей случайной дискретной величины или просто распределение. Она обычно задается в виде таблицы.

X

X1

X2

X3

Xn

P(X)

P1

P2

P3

Pn

При этом сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице:

 (8)

В примера с кубиком с занумерованными гранями случайная величина может иметь только шесть значений (граней) с равными вероятностями  и следовательно,

 

Параметры распределения случайных величин

Законы распределения являются полными характерис-тиками случайных величин. Но они не всегда удобны для практики. На практике чаще случайную величину характеризуют определенными числовыми параметрами, связанными с законом ее распределения. Основные из них: математическое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием М (X) случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 (9)

Определение математического ожидания требует знания закона распределения вероятностей. Если он не выявлен, то вычисляют среднее арифметическое значение случайной величины X, т.е.

 (10)

Согласно закону больших чисел :

 (11)

Таким образом, математическое ожидание М(х) является центром распределения вероятностей случайной величины Х и оценивается одним числом, т.е. М(х)= Const.

Отдельные значения случайной величины группируются около математического ожидания как центра (см.рис.I). Степень рассеяния или разброса этих значений характеризуют величиной, называемой дисперсией D(х) случайной величины.

Дисперсией D(х) называют математическое ожидание квадрата отклонений возможных значений случайной величины от ее математического ожидания:

 (12)

Таким образом, дисперсия предcтавляет средний квадрат отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Формулу (12) можно выразить через средние величины в удобной

для вычислений форме:

  (13)

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Поэтому для сопоставления и оценки рассеяния возможных значений случайной величины около математического ожидания вводят понятие среднего квадратичного отклонения, имеющего в отличие от дисперсии такую же размерность, как и случайная величина.

Средним квадратичным отклонением σ случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:

 (14)

В теории ошибок σ называют средней квадратичной ошибкой.

Непрерывные случайные величины

К непрерывным случайным величинам относятся такие случайные величину, которые могут принимать любые значения в некотором интервале числовой оси. Примером может служить результат измерения, записанный на самописце, мгновенные значения скорости теплового движения молекул газа и т.п. Так как в атом случае невозможно перечислить вое значения случайной величи-ны и указать их вероятности, непрерывную случайную величину характеризуют вероятность того, что те или иные ее значения попадают в определенные заданные интервалы области ее возможных значений. При этом вводится понятие функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины  - отношение вероятности  попадания случайной вели - чины х в тот или иной интервал  ее значений к величине этого интервала:

 (15)

Функцию f(х) называют дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X, ее размерность обратна размерности случайной величины. Тогда вероятность того, что отдельное значение случайной величины Х окажется в интервале от Х до Х + dx можно записать так:

 (16)

График функция f(x) называется кривой функции плотности распределения вероятностей. Форма его может быть различной для распределений разных случайных величин. На рис. 1а приведена типичная кривая распределения результатов многократного измерения.

 Рис.1

Если функция распределения вероятностей известна, при помощи интегрирования можно найти вероятность попадания значения Х в любой интервал (-∞, х):

  (17)

Функция F(x) – первообразная для функции f(x) плотности распределения вероятностей – называется интегральной функцией рас­пределения непрерывной случайной величины. Она определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше заданного Х (см.рис.1б). Вероятность для случайной величины Х принять значение, лежащее между а и в, равна разности интегральных функций распределения для значений в и а:

 (18)

На графике (рис.1а) вероятность δ численно равна заштрихованной площади, ограниченной линией графика, осью абсцисс и ординатами при Х = а и Х = в , если площадь под всей кривой принять за единицу.

Непрерывная случайная величина считается заданной, если известны ее функции распределения F(x) или f(x). При расчетах c непрерывными случайными величинами выражение f(x)dx играет ту же роль, что и вероятности Рi для дискретных величин. Поэтому во многих формулах достаточно заменить Pi на dx, а сумму - соответствующим интегралом, чтобы перейти от формулы для дискретных величин к формуле для непрерывных величин.

Исходя из определения вероятности, очевидно, что должны иметь место следующие соотношения:

 или   (19)

Эти соотношения называются условиями нормировки функции плотности распределения вероятности и во многих случаях позволяют рассчитать искомую функцию f(х). Они выражают условие того, что вероятность обнаружить случайную величину во всем интервале ее возможных значений представляет достоверное событие.

Дня непрерывной случайной величина с плотностью распределения f(x) математическое ожидание М(х) и дисперсия D(x) вычисляются по формулам:

 или  (20)

При решении практических задач имеют дело с различными законами распределения физических величин. Так, в задачах, относящихся к редким случаям (например, радиоактивный распад в проблемах флуктуации и т.п.), используется распределение Пуассона. В теории ошибок основную роль играет закон нормального распределения (распределение Гаусса).

Гипотеза о функции нормальногораспределения случайных ошибок

Пусть в некотором ряде измерений возможность промахов устранена, а систематические ошибки исследованы и полностью исключены. Тогда разность между результатом измерения Хi и истинным значением измеряемой величины X0 равна истинной случайной ошибке отдельного измерения

 (21)

Центральная предельная теорема Ляпунова утверждает, если среди членов суммы нет таких, которые доминируют над всеми остальными, то сумма бесконечного числа случайных величин распределена нормально. Теория ошибок основана на гипотезе, что случайная ошибка удовлетворяет требованиям этой теоремы и поэтому распределена нормально. В силу равенства (21) результат отдельного измерения Хi также будет нормально распределенной случайной величиной.

Нормированная нормальная функция распределения Гаусса для генеральной совокупности 1) результатов 2) измерения Х имеет вид:

 (22)

где е - основание натуральных логарифмов, М(Х) - матема-тическое ожидание случайной величины, равное ее истинному значению, т.е. М(Х) = Хо, σ2 - дисперсия случайной величины, σ - среднее квадратичное отклонение.

Учитывая, что , а математическое ожидание ошибки , можно записать распределение истинных погрешностей:

 (23)

Распределения (22) и (23) имеют одинаковую дисперсию и отличаются лишь центрами распределения М(Х)=Х0 и М(∆Х)=0. График

___________________________________________________________________________

Примечания: 1) Под генеральной совокупностью подразумевают все множество возможных значений измерений Х или возможных значений их погрешностей ∆Х.

 2) Для упрощения расчетов в теории результаты измерения Хi и их ошибки ∆xio считают непрерывными случайными величинами Х и ∆X.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

функции плотности нормального распределения называется нормальной кривой распределения или кривой Гаусса.

На рис.3 приведены графики функции плотности нормального распределения ошибок, различающиеся дисперсиями, откуда видно:

1. Кривая имеет максимум в точке ∆Х=0. равный

, т.е. наивероятнейшим значением случайной ошибки является нуль.

2. Кривая Гаусса симметрично убывает в обе стороны от центра распределения, асимптотически приближаясь к оси абсцисс, т.е. ошибка одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто, причем при увеличении абсолютной погрешности вероятность ее появления уменьшается.

3. Две точки перегиба кривой соответствует среднеквадратичному отклонению ±σ. Величина σ определяет форму кривой. С увеличением σ (ухудшением качества измерений) кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси абсцисс.

Дифференциальная функция нормального распределения довольно сложна, зависит от σ и неудобна для вычислений. Поэтому при расчетах используют нормированную функцию распределения, в которой случайная величина выражена в долях среднеквадратичного отклонения σ.

Действительно, если ввести новую переменную

 (24)

то нормальные функции распределения случайных величия с разными М(Х) и D(X) примут стандартный вид:

 (25)

у которого математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице.

По имеющимся таблицам значений функции (25), используя зависимость (24), можно найти плотность вероятности для любого значения X.

Интеграл вероятностей

Интегральная функция нормального распределения результатов измерения F (X) или ошибок F(Δx) в новых переменных будет иметь один и тот же вид:

 (26)

Вероятность того, что возможный результат измерения Х окажется внутри заданного интервала (Х1, Х2) согласно (26) может быть вычислен по уравнению:

где  

В частности, для симметричного относительно истинного значения Х0 интервала () получим:

  (27)

Здесь учитывается, что функция  является нечетной.

Функция  (28)

называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей (табл.1).

Таблица 1

Функция Лапласа

t

2Ф(t)

t

2Ф(t)

t

2Ф(t)

t

2Ф(t)

0,

0,0000

1,0

0,6827

2

0,9545

3

0,9973

0,5

0,3829

1,5

0,8664

2,5

0,9876

3,5

0,9995

Интеграл вероятностей (28) по уравнению (27) позволяет вычислять вероятность нахождения результата измерения Х или его ошибки ΔХ в заданном симметричном относительно центра распределения интервала (-σt, σt ). Для этого нужно величину заданного интервале () или () выразить в долях σ .т.е. найти  и по табл1 определить искомую вероятность .

Решается и обратная задача. Для заданной вероятности δ (по табл.1) определяют t и по известному σ находят искомый интервал ().

Найдем значения вероятностей δ для интервалов () при t= I. 2. 3 :

Из последнего равенства следует, что 99,73% всех результатов измерений находятся в пределах интервала

() и лишь 0,27% - за его пределами.

На рис.4 искомые вероятности δ изображены заштрихованными площадями под кривыми Гаусса f(t). Вся площадь код кривой равна единице (на рис. 4а

-t=1, δ=0,68; 4б –t=2, δ=0,95; 4в –t=3, δ=0,997).

Те результаты измерений, ошибки которых вышли за пределы ± 3 σ , имеют очень малую вероятность и такие измерения практически невозможны ("правило трех сигм"). При большом числе отсчетов “правило трех сигм” применяют для выявления грубых ошибок - промахов.

Ошибка среднего арифметического

На практике обычно вы-полняется некоторый ряд из n измерений

x1, x2, x3,… xn. (29)

Этот ряд можно рассмат­ривать как случайную выборку из нормальной генеральной совокупности возможных ре-зультатов с математическим ожиданием М(Х)=Х0 и диспер- сией :D(х)=σ2.

В качестве приближенно­го значения Х0 целесообразно принять среднее арифмети-ческое из результатов изме-рений:

 (30)

Основной задачей теории ошибок является оценка точности приближенного равенства (30).

Среднее арифметическое  случайных величин является также случайной величиной, имеющей нормальное распределение с тем же центром М(Х)=Х0, но с дисперсией

 (31)

Величину  называют средней квадратичной ошибкой среднего арифметического. Следовательно, средняя квадратичная ошибка среднего арифметического из n измерений в  раз меньше средней квадратичной ошибки отдельного измерения.

Следует помнить, что σ зависит от обстоятельств измерений изучаемого объекта, инструмента, обстановки измерений и наблюдателя. Поэтому когда характеризуют точность применяемого способа измерения или же сравнивают качество отдельных результатов (выделение промахов), пользуются величиной σ. Когда же оценивают точность окончательного результата измерений (среднего арифметического), применяют .

Остается выяснить, как можно вычислить  из опытных данных (29).

Согласно определению (12) дисперсия  можно было бы вычислить следующим образом:

однако нам неизвестно истинное значение х0.

Если Х0 заменить его приближенным значением , то, как показывает теория, для вычисления дисперсии получится приближенная формула:

 (32)

Дисперсию  называют выборочной дисперсией, а разность

 (33)

остаточной ошибкой отдельного измерения. Извлекая квадратный корень из (32), получим

 (34)

Эта формула, определяющая среднюю квадратичную ошибку по данным случайной выборки, называется формулой Бесселя.

Из выражения (31) аналогично найдем приближенную оценку средней квадратичной ошибки среднего арифметического

 (35)

Доверительный интервал и доверительная вероятность (классическая оценка)

Доверительным называют интервал () , который с заданной доверительной вероятностью δ содержит истинное значение Х0 искомой величина; () и () являются доверительными границами интервала. При этом обычно задаются стандартными значениями доверительной вероятности 0,9; 0,95; 0.99; 0,999.

Доверительной вероятностью называют вероятность δ того, что истинное значение Х0 измеряемой величины содержится внутри заданного доверительного интервала (). При этом δ выражают либо в долях единицы (доверительная вероятность), либо в процентах (надежность).

В классической теории ошибок неизвестные σ и  заменяют их приближенными значениями  и ; вычисленными из опытных данных по формулам (34) и (35). Доверительную вероятность и доверительный интервал определяют по табл.1 интеграла вероятностей согласно уравнению (27). полагая

 (36)

При этом результат измерений принято записывать в краткой символической форме:

 (37)

Эту запись следует понимать в том смысле, что истинное значение Х0 с заданной вероятностью δ находится внутри доверительного интервала ().

Классическим методом оценки точности результата измерений можно пользоваться лишь при выборке с большим числом (20) измерений. 

Выборочной метод

В классическом методе для нахождения границ доверительного интервала   при заданной надежности δ или наоборот, для определения δ по заданному ΔХ необходимо знать точное значение дисперсии σ2 генеральной совокупности измерений. Из опытных данных нам известна лишь дисперсия  случайной выборки из этой генеральной совокупности. А так как рассеяние результатов относительно средней арифметической   всегда меньше рассеяния относительно истинного значения Х0, то

Если мы для оценки доверительного интервала или доверительной вероятности воспользуемся табл.2 интеграла вероятностей, полагая  при малом числе измерений п, то найдем неверные значения ΔХ (заниженные) и δ (завышенные). В этом заключается недостаток классического метода оценки точности результата измерений.

Оказывается, что и при неизвестной дисперсии σг можно дать точную оценку приближенного равенства Хр , если исходить не из распределения величины , а из распределения другой случайной величины

 (38)

Распределение случайной величины tδ(n) получил английский химик и математик В.С. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом "Стьюдент" (студент). Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

 (39)

где Г (n) - гамма функция Эйлера, являющаяся обобщением понятия факториала.

На рис.5 приведены графика распределения Стьюдента для разных значений п. При  распределение (39) переходит в распределение Гаусса (23) и единичной дисперсией.

Распределение Стьюдента. аналогично распределению Гаусса, позволяет производить оценку точности результата измерений согласно выражению

 (40)

Только .теперь вместо  вводится коэффициент Стьюдента  зависящий от числа измерений n и величины надежности δ .



Рис. 5

Для коэффициентов Стьюдента составлены подробные таблицы. Ниже приводится небольшая часть из них.

Таблица 2

Значения коэффициентов Стьюдента

Например, задавая доверительную вероятность δ =0.95, по числу проведенных измерений n=5 по табл. 2 можно найти = 2,78. Тогда, определив предварительно  по формуле (35), найдем погрешность ∆X:

 (41)

Выражение (41) ввиду малого объема информации дает границы доверительного интервала более широкими.

Результат измерения можно представить в виде:

 при δ=0,95, n=5.  (42)

Конечно, оценка (42) еще не дает представления об общей погрешности измерения, в которую входит и систематическая ошибка.

Совместный учет случайных  и систематических  ошибок можно произвести по формуле

При этом следует принять во внимание, что  всегда имеет максимальное значение. Максимальное же значение случайных ошибок равно 3σ . Следовательно, для их равноправного учета необходимо предположить, что приборная погрешность β (или ∆пр) равна утроенной дисперсии распределения погрешностей прибора 3σпр ,т.е. погрешности соответствующей надежности δ =0.997. Тогда за систематическую ошибку можно принять  и общая погрешность выразится соотношением

 (43)

Коэффициенты Стьюдента для проведенного числа измерений  и бесконечного числа измерений   находят по табл.2 для одной и той же заданной надежности δ.

Погрешности косвенных измерений

Часто приходится вычислять искомую величину по результатам измерений других величин, связанных с этой величиной определенной функциональной зависимостью. Например, объем шара  можно вычислить, измерив его радиус R . Также измерения называются косвенными.

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, что величины Х0, У0 и U0 связаны равенством

. (44)

Непосредственно измеряются величины Х0 и У0, и по этим измерениям мы судим об U0, считая

 (45)

измерением величины U0.

Предполагается, что измерения Хi и yi независимы друг

от друга, и распределены нормально с дисперсиями  и Задача заключается в том, как по известным значениям   и  определить  и .

Очевидно, что погрешность косвенного измерения обусловлена погрешностями отдельных измерений  и . Поэтому выражение (45) можно переписать в виде:

 (46)

Вычитая почленно левые и правые части уравнений (46) и (44). для погрешности косвенного измерения получим:

 (47)

Тогда для дисперсии результатов косвенного измерения можно записать выражение:

 

Здесь член  , так как любое произведение  может быть с равной вероятностью или положительным, или отрицательным.

Учитывая, что  и

получим

 (48)

или  (49)

Равенство (49) определяет соотношение средних квадратичных ошибок прямых и косвенных измерений. Это выражение для частного случая имеет весьма общий характер и называется законом сложения дисперсий.

Следовательно, при измерении нескольких неизвестных величин складываются дисперсии этих величин (не ошибки, а именно дисперсии).

Средние квадратичные ошибки средних арифметических  связаны аналогичным образом 

 (50)

Рассмотрим общий случай, когда u - функция двух переменных х и y:

 (51)

Ошибки в величинах х и у такова: , где Х0 и У0 - истинные значения величин Х в У. Тогда для результата отдельного измерения можно записать

 (52)

Если ‘та функция непрерывна и имеет производные, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Рассматривая только члены c нулевыми и первыми степенями малых погрешностей  и , получим:

или поскольку

 (53)

Частные производные здесь вычисляются при Х=Х0 и У=У0. Запишем выражение для дисперсии результатов косвенного измерения:

 

Учитывая, что

 и

получим

 (54)

или

 (55)

Для относительной погрешности косвенного измерения

учитывая, что  и  получим:

 (56)

Использование косвенных измерения в методе малых выборок

В настоящее время нет универсального способа оценки границ доверительного интервала при заданной надежности для результата косвенных измерений. Поэтому здесь дается простой, хотя и недостаточно строгий метод такой оценки.

 Если число измерений n< 20, то границу доверительного интервала ∆Х и ∆У определяют с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же числа измерений n и надежности δ:

Соответственно для u=f(x,y,z) аналогично (55) получим

 (57)

Относительная погрешность равна также

 (58)

и так же

то

 . (59)

В частности , если

 (60)

(где α,β,γ могут принимать как положительные, так и отрицательные значения) то

 и

 (61)

Правила обработки результатов измерений

Для прямых измерений

I. Определяют среднее арифметическое значение измеряемой величины 

 2. находят остаточные ошибки отдельных измерений

 3. вычисляют среднюю квадратичную ошибку отдельных измерений

4. Отбрасывают промахи, если . При этом  и

 определяются без использования измерения подозре-ваемого на промах.

5. Определяют среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического :

6. По числу наблюдений n и выбранной доверительной вероятности (надежности) δ по таблице Стьюдента определяют коэффициент Стьюдента .

7. Находят границы доверительного интервала (случайную ошибку результата измерений):

8. Если величина случайной ошибки окажется сравнимой с величиной погрешности прибора (систематической погрешности), то в качестве границ доверительного интервала следует брать величину

Где  - коэффициент Стьюдента при n=∞ и той же доверительной вероятности, что и для случайной ошибки, β- величина погрешности прибора (определяется по классу точности для. электроизмерительных приборов или берется половина цены наименьшего деления школы отсчетного устройства).

9. Окончательный результат записывается в виде:

 при δ=… , n=… .

Для косвенных измерений

1. Для каждой серии измерений величин Х,У,Z ..., вхо -дящих в определение искомой величины u=f(x,y,z…), проводится обработка, как изложено в правилах для прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задают одно и то да значение надежности δ (число измерений п предполагается одинаковым).

2. Вычисляют среднее значение косвенно измеряемой величина. подставляя в исходную формулу u=f(x,y,z…) средние значения

3. Оценивают относительную ошибку косвенного измерения

где производные  вычисляются при ..., а ошибки ∆X, ∆У, ∆Z... определяются, как в пунктах 7 или 8 для прямых измерений.

4. Оценивают границы доверительного интервала результата косвенных измерений .

5. Окончательный результат записывают в виде

 при δ=… , n=…

Для случая, когда условия проведения опыта меняются

1. Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то проводят вычисление косвенно измеряемой величины по результатам каждого опыта

2. Полученные значения косвенно измеряемой величины обрабатывают по правилам прямых измерений, т.е. вычисляют среднее значение , среднеквадратичную ошибку среднего   находят границы доверительного интервала  .

3. Окончательный результат записывают в виде:

 при δ=… , n=…

Графическое представление результатов измерений

Для наглядного представления взаимной связи физических величин и их закономерного изменения результата наблюдений представляют графически.

Чаще всего используют прямоугольную систему координат. По оси абсцисс в произвольном масштабе откладывают независимую переменную, т.е. величину, значения которой задает сам экспериментатор. а по оси ординат ту величину, которую он при этом определяет. При выборе масштаба нужно исходить из следующих соображений: I) экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом, т.е. они должны располагаться с разумным интервалом; 2) масштаб должен быть удобным. Проще всего, если I см соответствует 1,2,5,10,100,0.1 и т.д. единицам измеренной величины.

На осях координат следует указывать название или символ величины. Обязательно нужно также указывать единицы измерений, причем десятичный множитель следует отнести к единице измерения. Тогда деления на графике можно помечать цифрами 1,2,3... или 10,20.30 ..., а не 10000, 20000 ... и т.д. или 0.0001, 0,0002 и т.д. Экспериментальные данные следует отмечать "жирными", хорошо выделяющимися точками. По полученным на плоскости точкам проводят "наилучшую " плавную (неломаную) кривую (рис-6), которая может проходить не через все отмеченные точки, а близко к ним. Такая кривая дает нам возможность проводить графическим путем интерполяцию, т.е. находить значения У даже для таких значений X, которые непосредственно не наблюдались.

Если полученные данные не образуют прямой на линейной (миллиметровой) графической бумаге, то можно попытаться построить график в логарифмических координатах (или наносить логарифмы значений Х и У на линейную графическую бумагу). В логарифмических координатах график простой, но важной функции

 (62)

имеет вид прямой. Переходя к логарифмам, действительно, получаем уравнение прямой:

где К и а - постоянные.

Имеется также третий тип графической бумаги -полулогарифмическая, когда одна шкала является лога-рифмической, а другая -линейной. В этом случае получается прямая, если данные подчиняются закону

 Рис.6

 (64)

После преобразований этой функции имеем

 (65)

Чтобы получилась прямая, шкала по оси У должна быть логарифмической, а по оси х – линейной.

Порядок выполнения работы

1. Набрать кусочки однородного твердого тела (кусочки проволоки) и поместить на одну из чашек аналитических весов. На другую чашку весов поместить разновесы. Взвесить кусочки твердого тела (определить величину m). Масса кусочков должна быть достаточно большой (вместе с пикнометром, наполненным водой около 200 г), чтобы разность в знаменателе выражения для rТ имела наименьшую ошибку.

2. Наполнить пикнометр дистиллированной водой до метки и взвешиванием определить массу М. Уровень воды должен доходить до метки нижним краем мениска. Воду добавлять и отбирать пипеткой. Капельки воды со стенок удалять встряхиванием пикнометра.

3. Поместить в пикнометр с водой кусочки твердого тела, отобрать воду пипеткой до метки и взвешиванием определить массу M¢.

4. Вычислить плотность твердого тела, воспользовавшись формулой для rТ, измеренными средними значениями <m>, <M>, <M¢ > и значениями из таблицы для плотности дистиллированной воды при температуре измерений.

5. Вывести формулу расчета погрешности косвенных измерений плотности твердого тела DrТ и вычислить ее, предварительно найдя погрешности прямых измерений m, M, M¢.

Определить тип твердого тела, используя таблицы плотности твердых тел (металлов).

Дополнительное задание

Учесть влияние выталкивающей силы воздуха, действующей согласно закону Архимеда, при взвешивании тела. Оценить величину поправки, обусловленной выталкивающей силой воздуха, к массе пикнометра с водой М, считая, что масса 1 см3 воздуха 0,0012 г. Плотность дистиллированной воды при различных температурах приведена в таблице.

t, °C

rв, г/см3

t, °C

rв, г/см3

t, °C

rв, г/см3

15

16

17

18

19

20

0,99913

0,99897

0,99880

0,99862

0,99843

0,99823

21

22

23

24

25

26

0,99802

0,99780

0,99757

0,99732

0,99707

0,99681

27

28

29

30

31

32

0,99654

0,99626

0,99597

0,99567

0,99537

0,99505

Контрольные вопросы

1. Какое предельное значение может принимать масса пикнометра с водой и кусочками твердого тела M¢ в данной лабораторной работе?

2. Почему масса кусочков твердого тела, плотность которого определяется, должна быть достаточно большой?

3. Как учитывается температура окружающей среды при измерении плотности твердых тел пикнометром?

4. Как учесть влияние выталкивающей силы воздуха, действующей согласно закону Архимеда, при взвешивании тела?

Список рекомендуемой литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики: В 3 т. Т. 1. – М.: Наука, 1989. – 352 с.

2. Лабораторный практикум по физике / Под ред. А.С. Ахматова. – М.: Высш. шк., 1980. – 326 с.

3. Физический практикум. Механика и молекулярная физика / Под ред. В.И. Ивероновой. – М.: Наука, 1967. – 352 с.


Изучение цепи переменного тока