Качественное исследование видимой части спектра Элементы земного магнетизма Законы сохранения в механике Интерференция света Естественный и поляризованный свет Оптическая пирометрия Полярные и неполярные диэлектрики

Физика лабораторные работы

Лабораторная работа 231

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА

Общие сведения

Колебательный контур (рис.1) представляет собой замкнутую электрическую цепь, состоящую из катушки индуктивности L и конденсатора С, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Свойства колебательного контура во многом аналогичны свойствам механических колебательных систем. В частности, электрические колебания также сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида, свободные электрические колебания затухают со временем, а в случае вынужденных электрических колебаний наблюдается явление резонанса.

Благодаря своим свойствам, колебательный контур широко используется на практике – он является одним из основных элементов радиотехнических устройств.

Возникновение колебаний в контуре

Если разомкнуть цепь колебательного контура и от внешнего источника зарядить конденсатор, то на его обкладках возникнут разноименные заряды   и , а между обкладками – электрическое поле, энергия которого равна

, (1)

где  – разность потенциалов (напряжение) между обкладками*.

При замыкании цепи контура конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности и его заряд уменьшается (рис.2). При этом сила тока в контуре нарастает (по абсолютной величине) постепенно из-за возникновения в катушке э.д.с. самоиндукции , которая (согласно правилу Ленца) препятствует изменению тока:

. (2)

 


Рис. 2

В момент времени (Т - период колебаний), когда конденсатор разрядится полностью (q = 0), сила тока достигнет своего максимального значения -, и энергия электрического поля полностью превратится в энергию магнитного поля катушки:

 (3)

Хотя разность потенциалов между обкладками конденсатора в этот момент будет равна нулю, ток в цепи не прекратится мгновенно, так как его уменьшение приведет к возникновению э.д.с. самоиндукции, поддерживающей движение зарядов в прежнем направлении.

В момент времени  заряды на обкладках конденсатора достигнут прежней максимальной величины, но поменяются знаками. В этот момент , и энергия магнитного поля полностью превратится в энергию электрического поля. Затем снова начнется разряд конденсатора, но ток в контуре будет иметь обратное направление*. В момент  конденсатор разрядится, и вновь из-за э.д.с. самоиндукции, возникающей в катушке, начнется его перезарядка. В момент времени  заряд конденсатора станет равным по величине и знаку своему первоначальному значению (при t = 0), после чего описанные выше процессы будут периодически повторяться – в контуре возникнут непрерывные периодические изменения величин заряда и тока, т.е. электрические колебания. Так как внешнее напряжение к контуру не приложено, то имеют место так называемые свободные (или собственные) колебания.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре при отсутствии потерь энергии, известно из курса физики средней школы, где оно было получено на основе закона сохранения энергии. Получим это уравнение с помощью второго правила Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма падений напряжений на каждом из элементов замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.

На основании второго правила Кирхгофа для рассматриваемого колебательного контура можно записать:

 (4)

 или

. (4а)

Поделим это равенство на  и, учитывая, что , получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение заряда конденсатора во времени:

. (4б)

Если обозначить  как , уравнение (4б) примет вид

. (4в)

Решением этого уравнения является функция

, (5)

показывающая, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с циклической (угловой) частотой

, (6)

называемой собственной частотой колебательного контура.

Период колебаний равен (формула Томсона)

. (7)

Напряжение на конденсаторе и ток в контуре также изменяются по гармоническому закону:

, (8)

. (9)

Из формул (5), (8), (9) видно, что колебания заряда (или напряжения) и тока сдвинуты по фазе на ; ток достигает максимального значения, когда заряд и напряжение равны нулю, и наоборот (см. рис.2).

Затухание свободных колебаний в реальном контуре

Формулы (5), (8) и (9) описывают незатухающие колебания в идеальном контуре без потерь энергии. Однако, всякий реальный колебательный контур, кроме емкости и индуктивности, обладает еще и активным сопротивлением R . Величина этого сопротивления определяется, в основном, сопротивлением провода, которым намотана катушка. Энергия расходуется на нагревание этого провода, и колебания постепенно затухают.

Для реального контура (рис.3), согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

, (10)

где  – падение напряжения на активном сопротивлении. Учитывая, что , , , а также  и , уравнение (10) можно записать в виде

. (10а)

Поделив все члены уравнения на  и введя обозначения  и , получим

 (10б)

Решением уравнения (10б) является функция

, (11)

которая отличается от функции (5) тем, что амплитуда колебаний зависит от времени: (рис.4). Колебания затухают тем быстрее, чем больше величина параметра , называемого коэффициентом затухания.

 

 


 

Наличие активного сопротивления приводит к уменьшению частоты колебаний

 . (12)

Кроме коэффициента затухания , используется еще один параметр – логарифмический декремент затухания , характеризующий изменение амплитуды колебаний за время, равное одному периоду:

. (13)

Получение незатухающих колебаний. Резонанс

Наиболее важными для практического применения являются незатухающие (вынужденные) колебания, получаемые при включении в контур э. д. с. (см. рис.5), которая изменяется по гармоническому закону:

. (14)

В этом случае, пользуясь вторым правилом Кирхгофа, можно получить уравнение

 (15)

 

Решение этого уравнения дает функцию, описывающую вынужденные колебания заряда с частотой, равной частоте переменной э. д. с., :

, (16)

где

. (17)

Соответственно,

 (18)

и

. (19)

Здесь

 (20)

 

Как видно из (20), амплитудное значение силы тока (Im) можно определить по закону Ома через амплитуду э.д.с. и полное сопротивление контура (импеданс) Z. Величина Z зависит от активного сопротивления R, емкостного   и индуктивного   сопротивлений:

. (21)

Величина  называется реактивным сопротивлением контура.

Из равенства (21) видно, что полное сопротивление контура принимает минимальное значение  при , что имеет место, если

. (22)

Согласно (20) амплитудное значение силы тока  при этом достигает максимума

 (23)

Явление резкого возрастания амплитуды колебаний силы тока, (или напряжения), наблюдаемое при , называется явлением резонанса. Частота  называется резонансной частотой для тока. Отметим, что резонансная частота для напряжения на конденсаторе равна .

График зависимости  (или ) от частоты внешней э.д.с.,  называется резонансной кривой. Форма резонансной кривой зависит от величины активного сопротивления: чем меньше R, тем выше и острее максимум резонансной кривой (рис. 6).

 


 

 

Параметры, имеющие важное значение для практики

С точки зрения практики важнейшими параметрами колебательного контура, наряду с резонансной частотой, являются его добротность и полоса пропускания.

Добротностью Q называется величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания:

 . (24)

Если затухание мало, т.е. , то, как следует из (12),  и

. (25)

Величина  называется характеристическим или волновым сопротивлением контура. Таким образом, добротность контура зависит от соотношения между активным R и волновым  сопротивлениями: чем меньше R, тем выше Q.

Добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (или катушке индуктивности) в момент резонанса может превысить напряжение внешнего источника . Действительно, согласно закону Ома, резонансное напряжение на конденсаторе равно*

, (26)

или с учетом равенств (23), (22), (6) и (25)

. (26а)

Отсюда

. (27)

От величины добротности зависит так называемая избирательность приемного устройства, т.е. его способность выделять сигнал только одной из нескольких радиостанций, работающих на близких частотах. Сказанное иллюстрирует рис.7.

Рис.7а Рис.7б

При высокой добротности контура (рис.7а) амплитуда сигнала от радиостанции, работающей на частоте , на которую настроен контур, значительно больше амплитуды сигнала  от радиостанции, работающей на нерезонансной частоте . При низкой добротности (рис.76) сигналы  и  сравнимы по величине; при любой настройке контура (на  или на ) обе радиостанции будут слышны одновременно.

Добротность контура зависит от его активного сопротивления и, прежде всего, от активного сопротивления катушки индуктивности. Следовательно, основным путем увеличения добротности контура является уменьшение активного сопротивления катушки индуктивности. Это достигается следующими способами:

применением провода большого диаметра;

применением сердечника из феррита (материала с большой магнитной проницаемостью), при наличии которого необходимая величина индуктивности достигается при меньшем числе витков, т.е. при меньшем сопротивлении провода.

Хорошие колебательные контуры имеют добротность, равную нескольким сотням. Отметим, что согласно (25) уже при  активное сопротивление  и в обычных радиотехнических контурах ( от 50 до 150) влияние активного сопротивления на частоту колебаний ничтожно мало. Это позволяет использовать формулу (6) для расчета резонансной частоты реального контура.

Чрезмерно высокие значения  приводят к тому, что резко сужается полоса пропускания . За   принимают ширину резонансной кривой, измеренную на уровне  (рис. 8).

 


Рис.8

Вопрос о полосе пропускания контура имеет большое значение, т.к. для неискаженной передачи и приема сигналов необходимо, чтобы все частоты, входящие в состав сигнала, в одинаковой степени излучались передающим устройством или усиливались приемным устройством.

Между резонансной частотой, полосой пропускания и добротностью существует следующая связь:

. (28)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Описание установки

Установка (рис. 9) состоит из генератора высокочастотных гармонических колебаний ГЗ-7А, с выхода которого переменное напряжение подается через сопротивление  на колебательный контур. Напряжение на колебательном контуре регистрируется о помощью осциллографа С1-54. В контур поочередно могут включаться конденсаторы  (переключателем ) и сопротивления  (переключателем ).

 


Рис.9

Порядок выполнения работы

Шнуры питания генератора ГЗ-7А и осциллографа С1-54 включить в сеть напряжением 220 В. Перевести тумблеры включения на панели генератора (2 тумблера) в положение "вкл", нажать кнопку "СЕТЬ" на панели осциллографа. Поставить указатель диапазонов частот на генераторе в положение «Д 1,4 ÷ 4 МГц». Это соответствует тому, что частота генерируемых колебаний будет находиться в диапазоне от 1,4 до 4 МГц (1 МГц = 106 Гц). Измерения можно производить спустя 5 минут после включения приборов.

УПРАЖНЕНИЕ I. Измерение индуктивности катушки колебательного контура

Для изготовления колебательных контуров чаще всего используют конденсаторы известной емкости, широкий набор которых выпускается промышленностью. В то же время катушки индуктивности рассчитывают и изготовляют специально для каждого конкретного случая. В связи с этим часто возникает задача измерения величины индуктивности изготовленной катушки. Обычно она решается путем подключения к катушке конденсатора известной емкости и измерения частоты образовавшегося колебательного контура. Индуктивность катушки при этом рассчитывается по формуле:

 (29)

где  – резонансная частота, измеряемая в герцах.

В нашем случае имеются два конденсатора известной емкости: С1 = 430 пФ и С2 = 220 пФ (1 пФ = 10–12Ф), с помощью которых можно определить индуктивность катушки. Для этого необходимо:

Установить ручку "частота" на генераторе Г3-7А вращением по часовой стрелке в крайнее положение.

Установить на вольтметре генератора ручкой "Регулировка выхода плавно" напряжение 8 В (по средней шкале).

Переключатель П2 на стенде поставить в положение I.

Переключатель П1 на стенде поставить в положение I, что соответствует включению в контур конденсатора С1.

Определить резонансную частоту , для чего:

плавно поворачивая ручку "Частота" на генераторе, добиться максимальной амплитуды сигнала на экране осциллографа;

снять показания (в МГц) со шкалы частот генератора, соответствующей интервалу 1,4 – 4 МГц (шкала Д).

Включить в контур конденсатор С2 (переключатель П1 поставить в положение II) и вновь определить резонансную частоту , выполнив пункт 5.

По формуле (29) вычислить индуктивность катушки для обоих случаев.

Вычислить среднее значение индуктивности .

Заполнить таблицу I

Сделать вывод о зависимости резонансной частоты контура от емкости конденсатора С. 

Таблица I

Положение

переключателя ПI

С, пФ

n0, МГц

L, Гн

, Гн

I

П

УПРАЖНЕНИЕ 2. Измерение емкости конденсатора

Если индуктивность контура известна, то, измерив резонансную частоту, можно определить емкость конденсатора, включенного в контур. Определим неизвестную емкость конденсатора С3.

1. Переключатель ПI на стенде поставить в положение III.

2. Найти резонансную частоту , выполнив пункт 5 упр. I.

3. Вычислить емкость конденсатора по формуле

 (30)

УПРАЖНЕНИЕ 3. Изучение влияния сердечника на величину индуктивности катушки

В тех случаях, когда необходимо изменять резонансную частоту колебательного контура, обычно используются конденсаторы переменной емкости. Однако иногда удобнее изменять величину индуктивности катушки. Это достигается с помощью сердечников, которые могут перемещаться внутри каркаса, на котором намотана катушка,

В вашем распоряжении имеются латунный и ферритовый сердечники. Выясним, как влияют на индуктивность катушки и на резонансную частоту контура сердечники, изготовленные из различных материалов:

I. Введите латунный сердечник внутрь каркаса катушки.

2. Выполните пункты 4 и 5 упражнения I и определите .

3. Поменяйте латунный сердечник на ферритовый и вновь найдите , выполнив пункт 5 упражнения I.

4. Вычислите индуктивность катушки с латунным и ферритовым сердечниками по формуле

 (31)

(за  взять значение  из первой строки таблицы I).

5. Заполните таблицу 2.

6. Сделайте выводы о влиянии материала сердечника на величину индуктивности катушки и на резонансную частоту контура.

Таблица 2


Сердечник

, МГц

L, Гн

УПРАЖНЕНИЕ 4. Снятие резонансных кривых

Переключатель ПI поставить в положение I.

Переключатель П2 поставить в положение I.

Ручкой "частота" установить на шкале генератора резонансную частоту .

Ручкой "регулировка выхода" плавно установить на вольтметре напряжение, равное 8В.

Ручкой "усиление" на осциллографе установить на экране размер изображения 2А (см. рис.10), равный 50 мм.

 


Рис.10

Ручкой "Частота" генератора устанавливать поочередно значения частоты на шкале Д, приведенные в табл.3, и снимать с экрана осциллографа соответствующие значения величины 2А в мм. Заполнить табл.3.

ПРИМЕЧАНИЕ: При изменении частоты напряжение на выходе генератора также меняется, поэтому после каждой установки частоты следует выставлять напряжение, равное 8 В.

Таблица 3

n, МГц

2А, мм

Поставить переключатель П2 в положение II. При этом в контур включается сопротивление R2.

Заполнить табл.4, выполняя действия, описанные в пункте 6 данного упражнения.

Таблица 4

n, МГц

2А, мм

9. По данным табл. 3 и 4 построить графики зависимости величины 2А от частоты для обоих случаев: 1) R = RI, 2) R = R2.

10. По полученным графикам, используя формулу (28) и рис. 8, определить добротность контура для обоих случаев. Сделать вывод, какое из сопротивлений (R1 или R2 больше).

МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

ФОРМУЛЫ

1

Энергия электрического поля заряженного конденсатора 

2

Энергия магнитного поля катушки с током 

3

Связь напряжения на конденсаторе с его зарядом

4

Э.д.с. самоиндукции 

5

Ток разрядки (зарядки) конденсатора 

6

Амплитуда силы тока в колебательном контуре 

7

Индуктивное сопротивление 

8

Емкостное сопротивление 

9

Закон Ома для участка цепи, содержащей активное сопротивление 

10

Закон Ома для участка цепи, содержащей индуктивное сопротивление

11

Закон Ома для участка цепи, содержащей емкостное сопротивление 

12

Общее сопротивление цепи содержащей R, L, С

13

Закон Ома для цепи с R, L, С 

14

Резонансная частота контура 

15

Формула Томсона 

16

Коэффициент затухания 

17

Логарифмический декремент затухания 

18

Добротность контура 

 

УРАВНЕНИЯ

1

Уравнение, описывающее идеальный контур (свободные незатухающие колебания) 

2

Уравнение, описывающее реальный контур (свободные затухающие колебания) 

3

Уравнение, описывающее реальный контур, в котором действует э.д.с. (вынужденные колебания) 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что представляет собой колебательный контур?

Что необходимо сделать, чтобы вызвать свободные колебания в контуре?

Каким способом, кроме рассмотренного в описании, можно возбудить свободные колебания в контуре?

Что называется амплитудой, частотой, фазой и периодом колебаний?

Какие превращения энергии происходят в колебательном контуре?

Почему свободные колебания затухают?

Как формулируется закон Джоуля-Ленца? Какое отношение он имеет к колебательному контуру?

Что характеризуют коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания?

Как получить незатухающие колебания? Как еще называют такие колебания?

Что такое резонанс? Когда он наблюдается?

Чем отличаются резонансные кривые для напряжения от резонансных кривых для тока? (Укажите два различия).

Как зависит форма резонансной кривой от добротности контура?

Какой элемент контура определяет, в основном, его добротность?

Как связаны добротность и полоса пропускания контура?

Как формулируется второе правило Кирхгофа?

Как согласуется со вторым правилом Кирхгофа тот факт, что в момент резонанса напряжение на конденсаторе (и катушке индуктивности) в Q раз больше величины внешней э.д.с.?

Назовите единицы измерения следующих величин: I, U, R, Z, C, L, q, W, w, T, b, l, Q, n.

Лабораторная работа № 3

физический маятник

Цель работы: определить момент инерции физического маятника (металлической пластины) относительно нескольких произвольных осей вращения.

Оборудование: металлическая пластина, секундомер, линейка.

Основание к допуску

Иметь краткий конспект теоретической части и практического выполнения работы.

Знать порядок выполнения лабораторной работы.

Основание к зачету

Иметь отчет о работе.

Ответить на вопросы:

Что называется гармоническим колебанием?

Что такое фаза, период, амплитуда колебания?

Что называется физическим маятником? Чему равен период его колебания (формула)?

Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения?

Знать формулы для расчета моментов инерции стержня, шара, диска, кольца относительно оси вращения, проходящей через их центр масс?

Как рассчитать моменты инерции этих тел относительно оси вращения, не совпадающей с центром масс?

Краткая теория

Гармоническим колебанием называется периодическое колебательное движение, при котором координаты положения  тела меняются во времени по закону синуса или косинуса.

Функция описывающая гармоническое колебание имеет вид:

,                      (3.1)

где х – расстояние отклонения от положения равновесия материальной точки (тела) в любой момент времени, А – амплитуда колебания: наибольшее отклонение от положения равновесия, Т – период колебания: время, в течение которого совершается одно полное колебание, (wt + j) – фаза колебания: величина, характеризующая положение и направление колеблющегося тела в любой момент времени, j – начальная фаза колебания (отсчет производится не от положения равновесия), w  – круговая (циклическая) частота, - частота колебаний (число колебаний в единицу времени).

Если начальная фаза равна 0, то уравнение (3.1) примет вид:

x = A·sinω t.                                                                                          (3.2)

т. к.  и .

Гармонические колебания совершаются только при малых углах отклонения колеблющегося тела относительно положения равновесия. Известно несколько основных видов маятников совершающих гармонические колебания (математический, физический, пружинный). В данной работе нас интересует физический маятник.

Физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной оси вращения, не совпадающей с центром масс тела, и совершающее колебания относительно этой оси (рис. 3).

На основании уравнения гармонического колебания и основного уравнения динамики вращательного движения выводится формула периода колебаний физического маятника                                                                                                                                                              Рис.3.

,                                                                     (3.3)

где I – момент инерции физического маятника относительно оси подвеса;

d – расстояние от оси подвеса до центра масс маятника, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения.

Тогда из (3.3) получаем для экспериментального определения момента инерции металлической пластины выражение:

,                                                                       (3.4)

Эта формула применяется также для нахождения экспериментальных значений моментов инерции тел сложной конфигурации относительно произвольных осей вращения.

Теоретическое значение моментов инерции тел относительно произвольной оси рассчитывается по теореме Штейнера

IТ = I0 + m · d 2,                                                                  (3.5)

где I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, d – расстояние между указанными осями вращения.

Известно, что для стержня

,                                                                                   (3.6)

где m – масса стержня, l – его длина.


Изучение цепи переменного тока