Качественное исследование видимой части спектра Элементы земного магнетизма Законы сохранения в механике Интерференция света Естественный и поляризованный свет Оптическая пирометрия Полярные и неполярные диэлектрики

Физика лабораторные работы

Лабораторная работа 108

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ И ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ

1. Основные законы механики

Законы сохранения в механике

В природе существует несколько законов сохранения; одни из них считают точными, другие - приближенными. Законы сохранения обычно являются следствием симметрии пространства и времени.

В механике же существует три закона сохранения, относящиеся к движению и взаимодействию материальных тел: закон сохранения импульса и момента импульса и закон сохранения энергии. Мы рассматриваем эти законы в нерелятивистской области, в которой справедливы преобразования Галилея. Все три закона согласуются с принципом относительности Галилея.

Законы сохранения не зависят от траектории и характера действующих сил. Они могут быть использованы и в тех случаях, когда силы неизвестны, так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц.

Законы сохранения оказывают существенную помощь при решении задач: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения, только после этого, если в задаче ничего не упущено, переходят к решению дифференциальных уравнений движения.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона.

В случае взаимодействия двух тел А и В изменение количества движения тела А равно: , (1)

где fA - сила, действующая на тело А со стороны тела В,  - время, в течение которого действует сила fA. При этом предполагается, что сила fA постоянна в течение промежутка времени . Аналогично, изменение количества движения тела В равно:

.  (2)

По третьему закону Ньютона , время действия тела А на тело В равно времени действия тела В на тело А. Откуда:

.  (3)

Следовательно,

.  (4)

Полученное равенство справедливо и в случае переменных сил и носит общий характер. Равенство (4) означает, насколько в результате взаимодействия количество движения одного тела, увеличилось, настолько количество движения второго тала уменьшилось, т.е. произошла передача количества движения. Формулу (4) можно переписать в виде:  (5), т.е. при взаимодействии двух тел общее изменение их количества движения равно нулю, откуда следует, что их общее количество движения:  остается постоянным.

Этот результат может быть обобщен на любое число тел, образующих замкнутую систему, т.е. таких тел, которые взаимодействуют друг с другом, но не взаимодействуют ни с какими внешними по отношению к системе телами. Полагая, что система состоит из n тел, и обозначая, их количество движения соответственно через , получим:

, (6)

т.е. полный вектор количества движения замкнутой системы, представляющий собой векторную сумму количества движения тел, образующих замкнутую систему, остается постоянным во все время движения.

Называя силы взаимодействия между телами системы внутренними силами, можно сказать; под влиянием внутренних сил система не может изменить своего полного количества движения. Под влиянием внутренних сил могут прийти в движение лишь отдельные части системы относительно друг друга.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса  материальной точки относительно произвольно выбранной точки в пространстве определяется векторным произведением:

.  (7)

Вращающий момент, действующий на материальную точку относительно фиксированной точки, определяется выражением: . (8)

Дифференцируя выражение (7) по времени, получим:

. (9)

Принимая во внимание:

 (10)

и второй закон Ньютона  получим:

.  (11)

Таким образом, приходим к важному выводу: , (12)

 т.е. скорость изменения момента импульса равна моменту вращения.

Если М=0, то  = пост. Момент импульса постоянен в отсутствие моментов вращения. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса для материальной точки.

Этот результат легко распространить на систему из материальных точек. Для этого нужно разбить силы, действующие на материальные точки, на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних и внешних сил, действующих на i-ю материальную точку обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение (12) для i-й материальной точки запишется в следующем виде:

  (i=1,2,3,…,N). (13)

Сложив аналогичные уравнения для всех материальных точек тела, получим:

 (14)

Величина  называется моментом импульса системы материальных точек.

Нетрудно показать, что сумма моментов внутренних сил равна нулю. Если обозначить сумму моментов  внешних сил буквой , то для системы точек получим выражение, которое по форме совпадает с (12):

. (15)

Для замкнутой системы материальных точек М=0 и суммарный момент импульса не зависит от времени. Таким образом, мы вновь пришли к закону сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Рассмотрим как систему материальных точек некоторое тело, которое может вращаться вокруг фиксированной оси Z. Момент импульса материальной точки относительно оси Z определим по формуле:

. (16)

Теперь представим вектор  в виде трех составляющих:

  - параллельной оси Z,  - коллинеарной вектору  и

-перпендикулярной к плоскости, проходящей через ось Z и

вектор  (рис.1).

  Рис.1

Заменяя в (16) вектор  суммой составляющих, получим:

  (17)

Здесь вектор  перпендикулярен к оси Z, поэтому его составляющая вдоль оси Z равна нулю, вектор  сам равен нулю в силу коллинеарности векторов  и .

Для системы материальных точек: 

Но , поэтому:  (18)

(Здесь использовано условие, что векторы  и  взаимно перпендикулярны).

В выражении (18) - момент инерции системы материальных точек (или тела) относительно оси Z. Следовательно,  (19)

Подставляя выражение (19) в (15), получим:  (20)

Из этого выражения следует, что если сумма составляющих моментов внешних сил вдоль фиксированной оси равна нулю, то момент импульса системы материальных точек относительно этой оси не зависит от времени (сохраняется).

  (21)

Если со временем может меняться момент инерции тела, то угловая скорость вращения тела относительно данной оси тоже изменится. Но произведение их останется постоянным, которое для двух моментов времени можно записать так:

  (22)

Закон сохранения и изменения механической энергии

Предположим, что мы имеем замкнутую систему материальных точек, в которой действуют только консервативные силы. Состояние такой системы будет определяться ее конфигурацией и скоростями материальных точек, образующих систему. При переходе системы из состояния I в состояние 2, силы, приложенные к материальным точкам, образующим систему, совершают работу, которую обозначим через А12. В каждом из этих состояний система будет характеризоваться соответственными значениями кинетической энергии Ек1 и Ек2 и потенциальной энергии Ер1, и Ер2. Тогда работа может быть выражена двояким способом: через разность кинетических энергий:

,  (23)

 или потенциальных энергий: . (24)

Из этих равенств получим: . (25)

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы называется ее полной механической энергией Е: . (26)

Тогда равенство (25) принимает вид:  (27), где Е1 и Е2 - полные энергии системы в состояниях I и 2.

Таким образом, получаем, что полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, остается постоянной.

При переходе из одного состояния в другое могут меняться кинетическая и потенциальная энергии, взятые в отдельности, но их сумма остается постоянной.

Следует всегда помнить, что закон сохранения механической энергии замкнутой системы только тогда имеет место, когда силы, действующие в системе, являются консервативными.

При наличии не консервативных сил, например, сил трения, сумма кинетической и потенциальной анергии системы не будет оставаться постоянной.

Рассмотрим незамкнутую систему и допустим, что среди внутренних сил имеются силы трения. При этом ограничимся учетом только механических явлений. Разобьем все силы, действующие на материальные точки, на три группы:

1) силы консервативные внутренние,

2) силы трения (внутренние неконсервативные),

3) внешние. вызванные воздействием со стороны тел, не входящих в систему.

Тогда равенства (23) к (24) разобьются на соответственные части:

,  (28)

. (29)

Из этих равенств получаем:  (30)

или:  (31)

Значит, изменение полной механической энергии системы равно сумме работ внешних сил и сил трения.

Заметим, что работа сил трения всегда отрицательна. Поэтому сила трения всегда обуславливает уменьшение полной механической энергии системы.

2.Лабораторная работа 108

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ И ВРЕМЕНИ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ ШАРОВ

Виды ударов и их характеристики

Принадлежности: электромеханическая установка для центрального соударения шаров.

Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар двух шаров. Пусть шары с массами m1 и m2 движутся до ударения со скоростями V1 и V2, а после соударения со скоростями U1 и U2. На основании закона сохранения импульса можно записать:

 (I)

На основании закона сохранения энергии имеем:

  (2)

Переписав эти равенства в виде: 

 

и поделив второе на первое, получим:

  или . (3)

Таким образом, при центральном абсолютно упругом ударе относительная скорость шаров меняет свое направление на противоположное, оставаясь неизменной по величине. В момент столкновения шары деформируются, затем разлетаются в противоположные стороны, деформация исчезает, т.е. кинетическая энергия шаров не расходуется на деформацию и остается неизменной по величине.

В случае, когда удар шаров не является абсолютно упругим (неупругим), часть кинетической энергии шаров переходит в энергию их остаточной деформации.

Тогда:

  и  (4)

При неупругом ударе шаров относительная скорость их меняет свое направление на противоположное, уменьшаясь по абсолютной величине. Взяв модули относительной скорости, можно записать:

Для количественной оценки уменьшения относительной скорости шаров вводится коэффициент восстановления:  (5)

В условиях опыта можно считать "К" зависящим только от материала шаров; посредством "К" можно характеризовать упругие свойства материала. Для реальных тел всегда К < I. Величину К лучше всего определить при центральном ударе шаров равной массы.

Пусть два одинаковых шара висят на нитях равной длины (рис.1). Если оба шара отклонить на одинаковые углы и отпустить, то их скорости V в момент соударения будут одинаковыми. Эту скорость можно найти. Если шар опускается о высоты h, то его скорость:

.  (6)

 

 Рис. I

Из рис.1 следует:  (7)

где   - длина нити, α- угол отклонения шара. Если угол отклонения мал, то:

  (8)

Аналогично можно определить и скорость шаров после удара U, измерив величину угла их отклонения после удара.

Коэффициент восстановления в этом случае имеет вид:

Если учесть соотношение (8) скорости шара и угла его отклонения, формула упростится:

  (9)

где α0- угол отклонения шара до удара, α1 - угол отклонения шара после удара.

Уменьшение угла после первого соударения шаров может оказаться весьма малым. Это вызывает трудности в отсчете угла и приводит к большой погрешности в значении К. Поэтому целесообразно измерить величину угла не после первого соударения, а после 10-15 соударений. Для первого соударения , для второго , для третьего  и т.д. Для N-го соударения . Перемножим эти равенства:

  или  (10)

Время соударения τ зависит от относительной скорости шаров, их массы, упругих свойств материала и т.п.; оно может быть измерено на установке (см. рис.1).

Если шары соединить в электрическую цепь и подать на них напряжение, то за время их соударения в цепи возникает электрический ток. Время соударения шаров τ может быть отождествлено со временем длительности возникающего прямоугольного электрического импульса. Если включить в цепь электронный осциллограф и подать на один из его входов возникающий импульс при соударении шаров, то на экране осциллографа можно наблюдать данный импульс. Пользуясь шкалой меток осциллографа и зная цену деления каждой метки Т по времени, можно по числу меток Z на импульс определить длительность импульса τ (время соударения) шаров: τ = Z*Т. Знание коэффициента восстановления К дает возможность вычислить энергию остаточной деформации W.

Закон сохранения энергии для неупругого удара двух шаров запишется в виде:

  (11)

где W - энергия остаточной деформации одного шара, относящегося к одному соударению. Поскольку V1=-V2=V; U1=-U2=U, то получим: mV2=mU2+2W, откуда:

Учитывая, что  имеем:  (12)

Зная время соударения шаров, можно рассчитать среднюю силу упругого удара.

На основании второго закона Ньютона: , где - сила упругого удара, действующего на шар. Введем вместо  среднюю силу удара , которая в течение удара считается постоянной. Значение  должно удовлетворять равенству:

(знаки скоростей взяты с учетом их направления относительно вектора силы). В результате интегрирования получим: 

Откуда: . (13)

Описание установки

  На установке (рис.1) два стальных шара расположены на металлических бифилярных подвесах. Шары удерживаются в отклоненном положении двумя электромагнитами Эм1 и Эм2,которые могут перемещаться (их положение фиксируются винтами). Углы отклонения шаров отсчитываются по шкале в градусах. Общее питание установки включается тумблером К1. питание электромагнитов включается тумблером К2. при включении тумблера К2 ток в цепи электромагнитов выключается, шары освобождаются и начинают двигаться друг к другу. При соударении шаров замыкается электрическая цепь, в которую они включены. Поэтому время соударения шаров будет равно длительности электрического импульса, возникающего при их взаимодействии. Напряжение импульса с сопротивлением R2 подается на вход осциллографа. Длительность электрического импульса определяется по экрану осциллографа, работающего в ждущем режиме, с учетом калибровки его длительности по шкале меток электронного осциллографа.

Выполнение работы

 Предупреждение: при работе на шары подается напряжение 20 В. Прикасаться к шарам и нитям подвески одновременно двумя руками запрещается!

1. Определение коэффициента восстановления К

1. Включить в сеть (220 В) питание установки и питание электронного осциллографа.

2. Включить тумблер осциллографа "сеть". При этом загорится сигнальная лампочка и через несколько минут на экране осциллографа появится светящаяся точка.

3. Включить последовательно тумблеры питания установки К1 и питание электромагнитов К2.

4. Отвести рукой шары к электромагнитам.

5. Выключить тумблер К2 и начать отсчет соударений. Число ударов (N = 10-15) задается преподавателем.

6. Записать угол отклонения шаров после последнего соударения αN. Отсчет угла рекомендуется произвести по обеим шкалам (сначала по одной, затем, повторив опыт, по другой) и брать среднее значение, но при небольшой разнице можно ограничиться отсчетом по одной шкале.

7. Повторить операции, указанные в пунктах 4,5,6 еще два раза.

8. Рассчитать среднее значение  по формуле  , где n число измерений.

9. Определить среднее значение  по формуле (10).

2. Определение времени соударения шаров τ

1. Отвести рукой шары к электромагнитам на заданный угол α0 = 25о. Если установка была выключена, предварительно выполнить операции по пунктам 1,2,3 из первого упражнения.

2. Выключить тумблер К2 и на экране осциллографа наблюдать за изменением длительность прямоугольного импульса. Для удобства отсчета длительность импульса выражена в метках. Цена одной метки равна Т = 20 мкс (микросекунд). За время соударения шаров τ принять длительность импульса последнего удара τN. Опыт проделать три раза и определить среднее время удара:

3. Расчет энергии остаточной деформации

 Энергию остаточной деформации рассчитать по формуле (12). При этом начальную скорость определить по формуле (8), полагая, что длина подвеса ℓ = 0,50 м, угол отклонения α0 = 250, масса шара m = 15∙10-2 кг, g = 9,81 м/с2.

4. Расчет средней силы удара

Среднюю силу последнего соударения рассчитать по формуле (13). При этом начальную скорость определить по формуле (8), приняв за угол отклонения αN, найденный в упражнении 1. Среднее время τ этого соударения определено в упражнении 2.

Результаты измерений и вычислений занести в табл.1.

N опыта

N соударений

W, Дж

, Н

1

2

3

250

Контрольные вопросы

I. Как изменяются кинетическая энергия шаров и их относительная скорость при различных видах удара: абсолютно упругом, неупругом и абсолютно неупругом?

2. Почему при определении коэффициента восстановления берут се6рию соударения?

3. На каком принципе основан метод определения времени соударения шаров?

4. На основании какого физического закона выводится формула для определения силы удара шаров?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.1. М., «Наука», 1970, с.103.

2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики, т.1. М., «Наука», 1972, с.50.

3. Яворский Б.М., Детлаф А.А. и др. курс физики, т.1. М., «Высш. школа», 1965, с.58.

Порядок выполнения работы

Настроить установку. Для этого груз  A  располагают так, чтобы  OA (X0) равнялось 5 – 6 см. Конец  O  проволочного металлического образца вставляют в пазы рычага и стойки. Устанавливая груз 2, добиваются того, чтобы показание индикатора 3 равнялось нулю.

Измерить параметры установки: величины отрезков  OC , YC и массу груза  A.

Измерить параметры образца: l0  (первоначальная длина) и  d (диаметр).

Изучить зависимость ε от s. Для этого перемещать груз A от начального положения X0 до конца рычага 1 (нагрузка) и обратно (разгрузка) к первоначальному положению ступенчато через 2 см, занося результаты измерений в таблицу. В таблицу также рекомендуется заносить и результаты расчетов  Dl ,  Fn,  ε,  s .

п/п

Положение груза DX, см

Показание индикатора N, деления

Удлинение Dl , м

Растягивающая сила Fn, Н

ε = Dl / l0

s = Fn / Sn,, Н/м2

1

2

.

.

                                                                                               

Построить график зависимости ε от s. Проанализировать полученную зависимость.

Выделить на графике прямолинейный участок, и для экспериментальных точек, составляющих этот участок, методом наименьших квадратов (см. “Элементарная обработка результатов физического эксперимента”) найти модуль Юнга металлического образца.

Вставить новый проволочный образец из другого металла. Выполнить пп. 3 – 6.

Сравнить и проанализировать полученные значения модуля Юнга, ход зависимости ε от s для разных металлов.

Контрольные вопросы

Чем характеризуется область деформаций, соответствующих закону Гука?

Почему начальное положение  X0  груза  A выбирается отличным от нуля?

Почему на графике зависимости ε (s)  часть экспериментальных точек не ложится на прямолинейный участок?

От чего зависит величина модуля Юнга твердого тела?

Список рекомендуемой литературы

Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1979. § 73. – 519 с.

Стрелков С.П. Механика. – М.: Наука, 1965. § 81. – 560 с.

Методические указания к лабораторным работам по физике. Механика / Под ред. Н.Г. Конопасова. Владим. политехн. ин-т. – Владимир, 1983. – 45 с.


Изучение цепи переменного тока