Контрольная работа по математике Несобственные интегралы второго рода Площадь поверхности вращения Приближённые вычисления с помощью дифференциала Определение градиента и стационарных точек функции

Высшая математика Примеры рещения задач

     Пример 8.8   Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

 

в точке $ M_0(2;-1;1).$ Вычислительная математика Ручные вычисления по методу Гаусса. В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений.

Уравнение касательной плоскости к поверхности $ S=\{f(x;y;z)=0\}$ в точке $ M_0(x_0;y_0;z_0)\in S$ имеет вид

 

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+
f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)+
f'_z(x_0;y_0;z_0)(z-z_0)=0.$

Находим частные производные и их значения в точке $ M_0$ :

 

$\displaystyle f'_x=x;\ f'_y=-2y;\ f'_z=-1;$

 

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_y(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_z(x_0;y_0;z_0)=-1.$

Поэтому искомое уравнение касательной плоскости имеет вид
$\displaystyle 2(x-2)+2(y+1)-(z-1)=0,$

или

 

$\displaystyle 2x+2y-z-1=0.$

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Тройной интеграл – это интеграл от функции f(M) = f(x, y, z) – трех независимых переменных, заданной в некоторой ограниченной замкнутой пространственной области V. Схема построения тройного интеграла аналогична схеме построения двойного интеграла.

Разобьем область V на пространственные ячейки V1, V2, ... , Vn. В каждой ячейке Vi (i=1, 2, 3, ..., n) выберем произвольную точку Mi(xi, yi, zi) и умножим значение функции f в этой точке на объем DVi ячейки Vi. Сумма таких произведений по всем ячейкам

называется интегральной суммой.

Тройным интегралом  от функции f(M) по области V называется предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа разбиений области на ячейки и неограниченном уменьшении при этом объемов (диаметров) всех частичных областей:

.

Если такой предел существует, то функция f(M) называется интегрируемой в области V; всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области V функция f(M) интегрируема в ней.

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла.

В декартовых координатах элемент объема обычно записывают в виде , а тройной интеграл обозначают

.


Пусть V проектируется в область D на плоскости х0у так, что всякая прямая, параллельная оси 0z и проходящая внутри области D, пересекает границу области V в двух точках. В общем случае такая область ограничена сверху поверхностью , снизу – поверхностью  и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z (рис. 21).

Функции  и  будем считать непрерывными. Тройной интеграл по такой области вычисляется по формуле

.           (52)

Здесь внутренний интеграл  берется по z при фиксированных, но произвольных в D значениях х и у от нижней границы области V до ее верхней границы. В результате получается некоторая функция от х и у, которая интегрируется затем по области D.

Наиболее простой вид формула (52) принимает в случае, когда V есть прямоугольный параллелепипед, ограниченный плоскостями  x = a, x = b, y = c, y = d, z = e, z = g:

.             (53)

Замечания. Аналогичные определения и формулы могут быть получены и тогда, когда область V проектируется в область D, лежащую или в плоскости x0z, или в плоскости y0z.

Если область V имеет более сложную форму, то ее разбивают на конечное число областей V1, V2, ..., Vn, каждая из которых удовлетворяет условиям, изложенным выше.

В частных случаях боковая поверхность цилиндра может превратиться в линию.

Формула замены переменного в определённом интеграле