Контрольная работа по математике Несобственные интегралы второго рода Площадь поверхности вращения Приближённые вычисления с помощью дифференциала Определение градиента и стационарных точек функции

Высшая математика Примеры рещения задач

        Пример 8.5   Найдём стационарные точки функции $\displaystyle f(x;y)=x^2+xy+y^2-4x-2y,$

 

заданной на всей плоскости $ xOy$ .

Частные производные функции $ f$ равны

 

$\displaystyle f'_x(x;y)=2x+y-4;\ f'_y(x;y)=x+2y-2.$

В стационарной точке обе эти производные равны 0. Приравнивая полученные выражения к 0, получаем систему линейных уравнений: Вычислительная математика Решение алгебраических и трансцендентных уравнений Постановка задачи и этапы решения. Криволинейный интеграл 2-го рода

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}
2x+y-4=0;\\
x+2y-2=0.
\end{array}\right.$

Эта система имеет единственное решение: умножая первое уравнение на 2 и вычитая из него второе, получаем $ 3x-6=0$ , откуда $ x=3$ и $ y=0$ . Значит, $ (x_0;y_0)=(3;0)$  -- единственная стационарная точка функции $ f$ .     

    

При расстановке пределов интегрирования удобно использовать стрелку, пересекающую область. В полярной системе координат стрелка – это луч, выходящий из полюса и пересекающий границы на линии входа и выхода.


Большинство областей интегрирования в полярной системе координат можно соотнести к одной из четырех схем (для каждой из схем записаны соответствующие формулы):

а)                                    (37)

б)          (38)


в)          (39)


г)          (40).


Замечания. Использование полярной системы координат при вычислении двойных интегралов удобно в тех случаях, когда граница области интегрирования образована линиями, уравнения которых в полярных координатах имеют более простой аналитический вид, чем в декартовой системе координат (например, различные окружности или их части).

Если область D лежит в плоскости x0z, то в обоих случаях |J|=r, но для плоскости x0z формулы перехода к полярным координатам имеют вид

x = r cos j,                        z = r sin j,

а для плоскости y0z

y = r cos j,                        z = r sin j.

Формула замены переменного в определённом интеграле