Контрольная работа по математике Несобственные интегралы второго рода Площадь поверхности вращения Приближённые вычисления с помощью дифференциала Определение градиента и стационарных точек функции

Математика Свойства градиента и производной по направлению

    Пример 8.4   Пусть поверхность $ S$ задана уравнением $\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1$

 

в трёхмерном пространстве с координатами $ x,y,z$ (это эллипсоид с центром в начале координат и полуосями $ a=1$ , $ b=2$ , $ c=4$ ). Возьмём на эллипсоиде точку $ \bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)$ (проверьте, что она лежит на эллипсоиде!) и найдём уравнение касательной плоскости в этой точке. Построение многочлена Лагранжа. Зная вспомогательные многочлены, легко построить и искомый многочлен в виде их линейной комбинации:

Поскольку для функции

 

$\displaystyle f(x;y;z)=x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}$

поверхность $ S$ служит поверхностью уровня $ C=1$ , то можно применить формулу (8.2). Частные производные равны:

 

$\displaystyle f'_x=2x;\ f'_y=\frac{y}{2};\ f'_z=\frac{z}{8}.$

Поэтому

 

$\displaystyle \mathop{\rm grad}\nolimits f=\bigl(2x;\frac{y}{2};\frac{z}{8}\bigr)$

и

 

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)\bigl(\frac{1}{2};1;2\sqrt{2}\bigr)=
\bigl(1;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{4}\bigr).$

Теперь выписываем уравнение касательной плоскости:

 

$\displaystyle 1\cdot\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{\sqrt{2}}{4}(z-2\sqrt{2})=0,$

или

 

$\displaystyle x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{4}z-2=0.$

   

    
   

Определенный и несобственный интегралы

Использование свойств определенного интеграла
(см. Примеры 1–2. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Для вычисления определенного интеграла  используется формула Ньютона – Лейбница: для всякой непрерывной в промежутке [a, b]  функции у = f(x)  справедлива формула

 = ,                            (4)

где F(x) – есть какая-нибудь первообразная функции f(x)  (F¢(x) = f(x)). Использование формулы (4) предполагает нахождение первообразной для подынтегральной функции. Все методы неопределенного интегрирования можно перенести на случай определенного интегрирования. Приведем основные свойства определенного интеграла, которые используются при его вычислении:

.

.

 = .

.

 =  + ,    с Î [a, b].

, если  f(x) = f(–x), т. е.  f(x) – четная в симметричном интервале [– a; a].

, если  f(x) = – f(–x),  т. е. f(x) – нечетная в симметричном интервале [– a, a].

Замена переменной в определенном интеграле
(см. Пример 3. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Интегрирование по частям в определенном интеграле
(см. Пример 4. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Несобственные интегралы
(см. Пример 5–7. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Формула замены переменного в определённом интеграле