Вычислить двойной интеграл Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки Вычислить тройной интеграл вычислить объем тела Криволинейные и поверхностные интегралы Контрольная работа по математике

Первообразная и неопределённый интеграл

Пусть на интервале $ (a;b)$ задана непрерывная функция $ f(x)$ , для которой нужно найти первообразную $ F(x)$ . Согласно определению первообразной, для этого нужно решить уравнение

$\displaystyle F'(x)=f(x),$(1.6)

найдя неизвестную функцию $ F(x)$ . Относительно этой неизвестной функции уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно приближённо решать разными способами, которые вы будете изучать в курсе дифференциальных уравнений. Опишем здесь простейший из них, называемый методом Эйлера. Вычислительная математика Метод простых итераций Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений.

Из всего семейства первообразных $ \{F(x)+C\}$ будем отыскивать ту первообразную, которая в некоторой фиксированной точке $ x_0\in(a;b)$ принимает фиксированное значение $ F(x_0)=y_0$ . Это условие выделяет из семейства первообразных одну функцию: все остальные первообразные $ G(x)=F(x)+C$ отличаются от этой фиксированной первообразной на постоянное слагаемое $ C\ne0$ и, следовательно, не удовлетворяют условию $ G(x_0)=y_0$ . Предел последовательности Задания для подготовки к практическому занятию Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена.

Заметим, что из уравнения (1.6) следует, что

 

$\displaystyle dF(x_0;dx)=F'(x_0)dx=f(x_0)dx;$

найденный дифференциал равен главной линейной части приращения функции:
$\displaystyle {\Delta}F(x_0;dx)=F(x_0+dx)-F(x_0)\approx dF(x_0;dx)=f(x_0)dx,$

откуда
$\displaystyle F(x_0+dx)\approx F(x_0)+f(x_0)dx=y_0+f(x_0)dx.$

Здесь мы учли начальное условие $ F(x_0)=y_0$ . Тем самым, взяв некоторое приращение независимого переменного $ x$ , равное $ dx\ne0$ , мы сможем приближённо найти значение первообразной $ F(x)$ в "соседней" точке $ x_1=x_0+dx$ :
$\displaystyle F(x_1)\approx y_0+f(x_0)dx.$

Начав аналогичные вычисления с точки $ x_1$ вместо $ x_0$ , получаем

 

$\displaystyle F(x_2)\approx F(x_1)+f(x_1)dx,$

где $ x_2=x_1+dx=x_0+2dx$ ; затем точно так же получаем

 

$\displaystyle F(x_3)\approx F(x_2)+f(x_2)dx,$

где $ x_3=x_2+dx=x_0+3dx$ , и т. д. По найденным в известных точках $ {x_1=x_0+dx}$ , $ {x_2=x_0+2dx}$ , $ x_3=x_0+3dx,\dots$ приближённым значениям первообразной $ F(x_1),\ F(x_2),\ F(x_3),\dots$ мы можем построить график функции $ y=F(x)$ (разумеется, приближённо, поскольку значения $ F(x)$ известны лишь приближённо). Выбирая $ dx>0$ , мы построим этот график при $ x\geqslant x_0$ , то есть на $ [x_0;b)$ , а повторив процесс при $ dx<0$ , построим часть графика на $ (a;x_0]$ .

Заметим, что шаг по оси $ x$ , то есть величину $ dx$ , не обязательно выбирать одинаковым на всех этапах: $ dx=h_i$ может зависеть от номера этапа $ i$ . Рекомендуется учитывать при этом выборе поведение функции $ f(x)$ и уменьшать шаг $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ увеличиваются, и увеличивать $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ уменьшаются, чтобы величины приращений $ {\Delta}F_i=F(x_{i+1})-F(x_i)$ были бы примерно одинаковы по абсолютной величине. Это даст возможность более точно построить график первообразной $ F(x)$ .

Найдём интеграл $\displaystyle \int xe^{-3x}dx$ при помощи интегрирования по частям.

Вычислим интеграл $\displaystyle I=\int e^x\cos x\,dx.$

Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Пример Вычислим интеграл $\displaystyle \int x\mathop{\rm arctg}\nolimits x\,dx.$

Пример 43. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение.   - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

; или ,

Если , то   - вершина параболы.

  или  или  .

 - прямая линия.

Найдем абсциссы точек пересечения  прямой и параболы:

  или  .

Для вычисления площади  заштрихованной области  воспользуемся формулой  (4.4)

>

Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (два признака сравнения, признак Даламбера, признак Коши). Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Формулировка признака Дирихле. Понятие об абсолютно и условно сходящихся рядах. Понятие интеграла с бесконечным верхним пределом (непрерывный аналог ряда). Понятие о степенном ряде и его свойствах. Ряд Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора.

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции