|
Если частные производные существуют во всех точках области
, то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке
, представляет собой вектор-функцию
со значениями в
.
В некоторых точках
градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных
в точке
будут равны 0:
Рассмотрим функцию
, заданную на всей плоскости
.
Определение
Значение предела
Свойства градиента и производной по направлению
Пример Пусть в
задана функция
Поверхностями
уровня линейной функции
Пример
Пусть поверхность
задана уравнением
Найдём стационарные точки функции
Пример
Найдём уравнения касательной плоскости и нормали, проведённых к поверхности уровня
функции
, проходящей через точку
.
Пример Найдём производную функции
Пример 6. Найти .
Решение. Данный интеграл от тригонометрических функций вида чаще всего «берется»
с помощью универсальной тригонометрической подстановки:
, тогда
;
.
=
=
.
Основы дифференциального исчисления. Понятие производной, физическая и геометрическая интерпретации производной. Правила вычисления производных. Понятие дифференцируемой функции. Эквивалентность существования производной и дифференцируемости (для функций одного аргумента). Дифференциал, правила вычисления дифференциалов. Производная и дифференциал сложной функции. Инвариантность выражения (свойство инвариантности дифференциала). Производные и дифференциалы высших порядков. Неинвариантность дифференциала второго порядка. Понятие локального экстремума. Теорема Ферма.
Рассматривая различные авторские концепции дизайна
|