Контрольная работа по математике Несобственные интегралы второго рода Площадь поверхности вращения Приближённые вычисления с помощью дифференциала Определение градиента и стационарных точек функции

Курс лекций Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Формулу

 

$\displaystyle f(x)-f(x^0)=df(x^0;dx)+{\alpha}(x^0;dx),$

задающую определение дифференциала, можно записать в виде приближённого равенства

 

$\displaystyle f(x)-f(x^0)\approx df(x^0;dx),$

если считать (при малых $ \vert dx\vert$ ) значение бесконечно малой величины $ {\alpha}(x^0;dx)$ много меньшим, чем $ \vert dx\vert$ . Перенося $ f(x^0)$ в правую часть, получаем:

 

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+df(x^0;dx),$

где $ x=x^0+dx$ . С учётом выражения дифференциала через частные производные, находим, что

 

$\displaystyle f(x^0+dx)\approx f(x^0)+\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n.$

Эту формулу можно применять для приближённого вычисления значений функции $ f$ в точках $ x=x^0+dx$ , если известны значения $ f$ и её частных производных $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}$ в точке $ x^0$ .

Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

Пример Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Найдём частные производные функции по переменным $ x$ и $ y$ .

Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$


Вычисление площади основано на геометрическом смысле определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям, объема тела вращения, длины дуги кривой, площади поверхности вращения также сводится к рассмотрению предела интегральной суммы, т. е. к определенному интегралу. Приведем соответствующие формулы.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

A) Если площадь S ограничена кривой y = f(x) (f(x) ³ 0), двумя вертикалями  х = а, х = b и отрезком оси абсцисс a £ x £ b  (см. рис. 1), то

.                                           (11)

В случае параметрического задания кривой x = j(t), y = y(t)

,                                             (12)

где t1 и t2 определяются из уравнений a = j(t1) и b = j(t2) (y(t) ³ 0 на отрезке  [t1, t2]).

Б) Если площадь S ограничена линиями y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b   (f1(x) £ f2(x) при a £ x £ b) (рис. 2), то

.                                     (13)


Рис. 1                                                   Рис. 2

В) Если площадь S ограничена линиями х = f(y)  (f(y) ³ 0), y = c, y = d и отрезком оси ординат c £ y £ d (см. рис. 3), то

.           

Формула замены переменного в определённом интеграле