Контрольная работа по математике Несобственные интегралы второго рода Площадь поверхности вращения Приближённые вычисления с помощью дифференциала Определение градиента и стационарных точек функции

1. Формулы Грина и интегральное представление гармонических функций. 2. Свойства гармонических функций: а) интеграл по границе от производной по нормали, б) две теоремы о среднем, в) принцип максимума. 3. Постановка внутренних и внешних задач для уравнения Лапласа в случае двух и трёх переменных. Единственность внутренней и внешней задач Дирихле. Единственность решения задачи Неймана. 4. Функция Грина для задачи Дирихле в случае круга, шара, полупространства. 5. Объёмный потенциал и его свойства. 6. Восстановление векторного поля по его ротору и дивергенции. 7. Гравитационные волны на поверхности жидкости. Постановка проблемы. 8. Двумерные волны в бассейне ограниченной глубины. 9. Кольцевые волны в бассейне ограниченной глубины.

Курс лекций Производные неявно заданной функции

Пусть дана дифференцируемая функция $ f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)$ , для которой в некоторой точке $ x^0=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0;x_n^0)$ выполнено неравенство

 

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\ne0.$

Тогда в некоторой окрестности точки $ x^0$ уравнение

 

$\displaystyle f(x_1;\dots;x_{n-1};x_n)=0$

определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию $ {x_n={\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})}$ , заданную вблизи точки $ x^*=(x_1^0;\dots;x_{n-1}^0)$ в $ \mathbb{R}^{n-1}$ .

Пусть требуется найти её частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}}(x^*)$ , $ i=1;\dots;n-1$ . Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции

 

$\displaystyle F(x_1;\dots;x_{n-1})=f(x_1;\dots;x_{n-1};{\varphi}(x_1;\dots;x_{n-1})),$

которая тождественно равна 0 в окрестности точки $ x^*$ ; следовательно, и все её частные производные в точке $ x^*$ обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции $ F$ , переменную $ t=x_i$ , где $ i=1,\dots,n-1$ , получаем по формуле $ F'_t=f'_{x_1}\cdot(x_1)_t'+\ldots+f'_{x_{n-1}}\cdot(x_{n-1})'_t$ :

 

$\displaystyle 0=f'_{x_i}\cdot1+f'_{x_n}\cdot(x_n)'_{x_i}$

(производные $ (x_j)'_{x_i}$ равны 0 при $ j\ne i$ , $ j\ne n$ ), то есть

 

$\displaystyle f'_{x_i}(x^0)+f'_{x_n}(x^0)\cdot{\varphi}'_{x_i}(x^*)=0,$

откуда

 

$\displaystyle {\varphi}'_{x_i}(x^*)=-\frac{f'_{x_i}(x^0)}{f'_{x_n}(x^0)},$

или

$\displaystyle \frac{\partial{\varphi}}{\partial x_i}(x_1^0;\dots;x^0_{n-1})=
 -...
...^0_{n-1};x^0_n)}
 {\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^1;\dots;x^0_{n-1};x^0_n)}.$(7.9)

Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции $ {\varphi}$ , не имея задающего её явного выражения.

Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу ) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:

              (24)

Если кривую L можно задать параметрически:

            x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0 ≤ t ≤ T,  

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

   (25)

    В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х1 ≤ х ≤ х2, формула (40) преобразуется к виду:

                  .                           (26)

Теперь  умножим значение функции в точке Mi не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность    xi – xi-1 = Δxi.                      

Если существует конечный предел при  интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

                    .            (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

                                 

Если вдоль кривой L определены функции

P(M)=P(x, y, z),  Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z),

которые можно считать компонентами некоторого вектора , и существуют интегралы

        ,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

   . Если  кривая L задана параметрическими уравнениями

                         x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),     α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то

.              (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

              (29)

где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

                                       

от пути интегрирования являются:

                                 .                            (30)

    При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

                 

При этом функцию и можно найти по формуле

                   (31)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.  

Теория пределов Понятие предела последовательности. Бесконечно большие последовательности. Бесконечно малые последовательности, их свойства. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей. Теорема Вейерштрасса, число "e". Предел функции. Бесконечно большие и бесконечно малые функции (при , где - число или один из символов бесконечности). Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций. Оценочный признак существования предела, первый замечательный предел ( ). Замена переменной при вычислении предела. Второй замечательный предел ( ) и его следствия. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Непрерывные функции, их свойства.

Формула замены переменного в определённом интеграле