Вычислить двойной интеграл Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки Вычислить тройной интеграл вычислить объем тела Криволинейные и поверхностные интегралы Контрольная работа по математике

Аналитическая геометрия. 1. Преобразование координат на плоскости и в пространстве. 2. Прямая на плоскости, плоскость в пространстве, прямая в пространстве. 3. Взаимное расположение прямых и плоскостей. 4. Эллипс, гипербола, парабола. 5. Инварианты уравнений линий второго порядка, приведение их уравнений к каноническому виду. Поверхности второго порядка, их

Первообразная и неопределённый интеграл

 

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что $\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C$ и $\displaystyle \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr)'=f(x).$

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство: $\displaystyle \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx,$

где $ k$  -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через $ F(x)$ некоторую первообразную для $ f(x)$ , а через $ G(x)$  -- некоторую первообразную для $ kf(x)$ . Тогда равенство означает, что $ G(x)=kF(x)+C$ , где $ C$  -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: $ G'(x)=kf(x)$ , так как $ G(x)$  -- первообразная для $ kf(x)$ , а $ (kF(x))'=kF'(x)=kf(x)$ , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и $ F'(x)=f(x)$ .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Найдём интеграл $ \int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла

Формула замены переменного

Вычислим интеграл $ \int e^{x^2}x\,dx$ .

Линейная замена

Формула интегрирования по частям

Найдём интеграл $ \int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.

Найдём интеграл $ \int\ln x\,dx$ .

О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$

Ещё один неберущийся интеграл : $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$

Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$

Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $ \mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .

Интегралы вида

Эти интегралы приводятся к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

I –я подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

Для определенности рассмотрим случай

. Тогда

   то

 - рациональная функция от t, dx также выражается рационально через t.

II-я подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

Для определенности считаем, что перед  стоит  знак «+». Тогда

  .

При этом dx и  выражаются рационально через t, поэтому  сводится к интегралу рациональной функции зависящей от t.

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции