Сети	Сопромат	Контрольная	Физика
Оптика	Лабораторные	Геометрия	Примеры
Энерго	Электротехника	Черчение	Задачи
АЭС	Математика	Инженерка	Графика

Первообразная и неопределённый интеграл

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что $\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C$ и $\displaystyle \Bigl(\int f(x)\,dx\Bigr)'=f(x).$

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство: $\displaystyle \int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx,$

где

-- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через

некоторую первообразную для

, а через

-- некоторую первообразную для

. Тогда равенство означает, что

, где

-- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же:

, так как

-- первообразная для

, а

, так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$
Найдём интеграл $\int(2\sin x+5\cos x)\,dx$ , пользуясь линейностью интеграла
Формула замены переменного
Вычислим интеграл $\int e^{x^2}x\,dx$ .
Линейная замена
Формула интегрирования по частям
Найдём интеграл $\int e^xx\,dx$ , применив формулу интегрирования по частям.
Найдём интеграл $\int\ln x\,dx$ .

О "неберущихся" интегралах

Неберущимся является интеграл $\displaystyle \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}\Phi(x)+C.$
Ещё один неберущийся интеграл : $\displaystyle \int\frac{\cos x}{x}\,dx=\mathop{\mathrm{Ci}}\nolimits (x)+C.$
Пример Выразим через функцию Лапласа следующий интеграл: $\displaystyle \int e^{-x^2}dx.$
Вычислим интеграл от интегральной экспоненты $\mathop{\mathrm{Ei}}\nolimits (x)$ .
Интегралы вида

Эти интегралы приводятся к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

I –я подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

Для определенности рассмотрим случай

. Тогда

то

- рациональная функция от t, dx также выражается рационально через t.

II-я подстановка Эйлера. Если , то полагаем

.

Для определенности считаем, что перед стоит знак «+». Тогда

.

При этом dx и выражаются рационально через t, поэтому сводится к интегралу рациональной функции зависящей от t.