Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

     Пример 6.7   Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости $ xOy$ параметрическими уравнениями $\displaystyle x=a(t-\sin t);\ y=a(1-\cos t)\quad (a>0),$

лежащей между точками $ O(0;0)$ (соответствует $ t=0$ ) и $ A(2\pi a;0)$ (соответствует $ t=2\pi$ ).

Рис.6.17.



Для функций $ f_1(t)=a(t-\sin t)$ и $ f_2(t)=a(1-\cos t)$ вычислим производные:

 

$\displaystyle f'_1(t)=a(1-\cos t);\ f_2'(t)=a\sin t.$

Тогда искомая длина дуги равна

 

$\displaystyle l=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}\;dt=
2a\int_0^{2\pi}\sin\frac{t}{2}=8a.$

    

        Пример 6.8   Пусть линия на плоскости с полярными координатами $ (r;{\varphi})$ задана уравнением $ r=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ ($ a>0$ ). Поскольку функция $ f({\varphi})=a\vert\sin^3\frac{{\varphi}}{3}\vert$ периодична с периодом $ 3\pi$ , достаточно рассматривать только значения аргумента $ {\varphi}\in[0;3\pi]$ , при которых выражение $ \sin^3\frac{{\varphi}}{3}$ неотрицательно. Кривая имеет вид, изображённый на следующем рисунке.

Рис.6.18.



Найдём длину этой линии.

Имеем

 

$\displaystyle f'({\varphi})=a\cdot3\sin^2\frac{{\varphi}}{3}\cos\frac{{\varphi}}{3}\cdot\frac{1}{3}=
a\sin^2\frac{{\varphi}}{3}\cos\frac{{\varphi}}{3}.$

Поэтому искомая длина $ l$ равна

$\displaystyle l=\int_0^{3\pi}
 \sqrt{a^2\sin^6\frac{{\varphi}}{3}+a^2\sin^4\fra...
...}=
 \frac{a}{2}\int_0^{3\pi}\Bigl(1-\cos\frac{2{\varphi}}{3}\Bigr)\;d{\varphi}=$   
$\displaystyle =\frac{a}{2}\Bigl({\varphi}-\frac{3}{2}\sin\frac{2{\varphi}}{3}\Bigr)\Bigl\vert _0^{3\pi}=
 \frac{3\pi a}{2}.$   


Пример. Исследовать функцию  на экстремум.

Решение.

Функция определена для всех точек плоскости.

; , Точек, в которых частные производные не существуют, нет.

Найдём стационарные точки, решая систему уравнений:

; ;

; ; ; .

Стационарные точки функции M1(0,0), M2(2,2).

4) Находим частные производные второго порядка:

 и подсчитываем из значения в стационарных точках:

a)  экстремума в точке М1(0,0) – нет.

b)  точка М2(2;2) – точка экстремума, а так как A=12 >0, то точка (2;2)- точка минимума.

Находим экстремум функции Zmin=Z (2;2)=-8

Атомные станции