Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

        Пример 6.6  Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Рис.6.16.



Пусть $ f(x)=\frac{x^2}{2}$ ; тогда $ f'(x)=x$ и

 

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx.$

Для вычисления значения интеграла $ l$ проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно $ l$ :

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=\left\vert\begin{array}{l}
 u=\sqrt{1+...
...t\vert=
 x\sqrt{1+x^2}\Bigl\vert _0^1-\int_0^1x\cdot\frac{x\;dx}{\sqrt{1+x^2}}=$(6.7*)
$\displaystyle =\sqrt{2}-\int_0^1\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
 \sqrt{2}-l+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx,$(6.8)

Здесь мы учли при перобразовании, что

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=l.$

Последний интеграл в правой части (6.7*) -- табличный:

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx=
\ln\vert x+\sqrt{1+x^2}\vert\Bigl\vert _0^1=\ln(1+\sqrt{2}).$

Получаем в итоге уравнение для искомой величины $ l$ :

 

$\displaystyle l=\sqrt{2}-l+\ln(1+\sqrt{2}),$

откуда находим

 

$\displaystyle l=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})).$

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии $ L$ , заданной параметрическими уравнениями в $ m$ -мерном пространстве с координатами $ (x_1;\dots;x_m)$ :

 

$\displaystyle x_j=f_j(t),\ j=1,\dots,m$

($ m=2$ для плоскости, $ m=3$ для трёхмерного пространства). Снова считая длину линии по определению равной пределу длин вписанных ломаных при измельчении разбиения, получаем формулу для длины $ l$ дуги линии $ L$ , лежащей между точками $ M_0(f_1({\alpha}),\dots,f_m({\alpha}))$ и $ N(f_1({\beta}),\dots,f_m({\beta}))$ :

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{\sum_{j=1}^m(f_j'(t))^2}\;dt.$(6.9)

Если на плоскости (то есть при $ m=2$ ) в качестве параметра $ t={\varphi}$ линии, заданной уравнением в полярных координатах $ r=f({\varphi})$ , взять полярный угол $ {\varphi}$ , то формула длины линии принимает вид

 

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{(f({\varphi}))^2+(f'({\varphi}))^2}\;d{\varphi}.$

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами $ (x_1;x_2)$ и полярными координатами $ (r;{\varphi})$ :

 

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi}.$

Выведите эту формулу длины из формулы (6.9) в качестве упражнения.

   

Пример. Функция имеет максимум в точке О(0,0), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z=f(x,y) равны нулю, т.е. , , называется стационарной точкой функции Z = f(x, y).

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная не существует, называются критическими точками. 

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.

Пример. Функция Z = xy. Для неё точка О(0, 0) – критическая точка, так как =y и =x обращаются в нуль в этой точке. Однако экстремума в ней функция Z = xy не имеет по определению: в достаточно малой окрестности точки О(0,0) найдутся точки для которых Z > 0 (точки I и III четвертей) и Z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функций исследовать на экстремум.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума).Пусть в стационарной точке (x,y) и некоторой её окрестности функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x,y) значения

(x,y), (x,y), (x,y).

Обозначим АС-В.

Тогда:

1)если ∆>0, то функция f(x,y) в точке (x,y) имеет экстремум: максимум, если А<0;минимум, если А>0;

2)если ∆<0, то функция f(x,y) в точке (x,y) экстремума не имеет.

3)если ∆=0 экстремум в точке (x,y) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции z=f(x,y) на экстремуме проводится по схеме:

1)Найти область определения функции.

2)Найти частные производные функции  и .

3)Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

4)Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать правильный вывод о наличии экстремумов.

5)Найти экстремальные значения функции

Атомные станции