Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

Пусть линия $ L$ представляет собой график функции $ y=f(x)$ , рассматриваемый при $ x\in[a;b]$ . Будем предполагать, что функция $ f(x)$ имеет на $ [a;b]$ непрерывную производную. Наша цель -- найти длину линии $ L$ (по сути дела, нам придётся дать определение того, что мы считаем длиной произвольной линии).

Рассмотрим разбиение $ X$ отрезка $ [a;b]$ точками $ x_0=a<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b$ и отметим соответствующие точки $ M_i(x_i;f(x_i))$ на графике. На каждом отрезке разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ приближённо заменим дугу графика $ y=f(x)$ на хорду $ M_{i-1}M_i$ .

Рис.6.14.



Длина этой хорды по теореме Пифагора равняется
$\displaystyle l_i=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}.$

Рис.6.15.



Преобразуем это выражение к виду

 

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+\Bigl(\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\Bigr)^2}.$

По теореме Лагранжа, на интервале $ (x_{i-1};x_i)$ найдётся такая точка $ \ov x_i$ , что

 

$\displaystyle \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}=f'(\ov x_i).$

Поэтому получаем

 

$\displaystyle l_i=(x_i-x_{i-1})\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}.$

Рассмотрим теперь точки $ \ov x_i$ , $ i=1,\dots,n$ , как отмеченные точки и получим размеченное разбиение $ \Xi$ . Соответствующая этому разбиению суммарная длина ломаной $ M_0M_1\ldots M_{n-1}M_n$ равна

 

$\displaystyle \wt l_X=\sum_{i=1}^nl_i=
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Будем считать эту длину приближённым значением длины линии $ L$ , а предел этой величины при неограниченном измельчении разбиения -- по определению равным длине $ l$ линии $ L$ :

 

$\displaystyle l=\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt l_X=
\lim_{\matho...
...diam}\nolimits (X)\to0}
\sum_{i=1}^n
\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}
(x_i-x_{i-1}).$

Заметим теперь, что величина $ \wt l_X=\sum\limits_{i=1}^n\sqrt{1+(f'(\ov x_i))^2}(x_i-x_{i-1})$ представляет собой интегральную сумму, составленную по размеченному разбиению $ \Xi$ для функции $ {g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}}$ . Эта интегральная сумма при измельчении разбиения будет стремиться к значению определённого интеграла, так что получаем в итоге:

$\displaystyle l=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\;dx.$(6.7)

Экстремум функции двух переменных

Основные определения. Пусть функция Z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N(x0,y0)ÎD.

Точка (x0,y0) называется точкой максимума (минимума) функции Z=f(x,y), если существует такая d-окрестность точки (x0,y0), что для каждой точки (x,y), отличной от (x0,y0), из этой окрестности выполняется неравенство.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют её экстремумами.

Замечание. В силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный характер: значение функции в точке (x0,y0) сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к (x0,y0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Необходимые и достаточные условия экстремума.

Рассмотрим условия существования экстремума.

Теорема 1. (необходимое условие экстремума). Если в точке N(x0 ,y0) дифференцируемая функция Z=f(x , y) имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю:

Геометрические равенства  и  означают, что в точке экстремума функции z=f(x,y) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x,y), параллельна плоскости Оху, т.к. уравнение касательной плоскости

 принимает вид z=z0.

Замечание: Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует .

Атомные станции