Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

    Пример 6.4   Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ (см. рис.).

Рис.6.10.



Очевидно, что рассматриваемое тело $ {\Omega}$ проектируется на ось $ Ox$ в отрезок $ [-R;R]$ , а при $ x\in(-R;R)$ поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами $ y$ и $ z=2y$ , где $ y$ можно выразить через $ x$ из уравнения цилиндра:

 

$\displaystyle y=\sqrt{R^2-x^2}.$

Поэтому площадь $ S(x)$ поперечного сечения такова:

 

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}y\cdot2y=y^2=R^2-x^2.$

Применяя формулу (6.5), находим объём тела $ {\Omega}$ :

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_{-R}^R(R^2-x^2)\;dx=\bigl(R^2x-\frac{x^3}{3}\bi...
...
\bigl(R^3-\frac{R^3}{3}\bigr)-
\bigl(-R^3+\frac{R^3}{3}\bigr)=\frac{4R^3}{3}.$

    

Пусть тело $ {\Omega}$ ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве $ Oxyz$ линии $ y=f(x)$ , лежащей в плоскости $ xOy$ и рассматриваемой при $ x\in[a;b]$ , вокруг оси $ Ox$ , а также (с боков) плоскостями $ x=a$ и $ x=b$ (см. рис.).

Рис.6.11.



Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги радиуса $ {\vert y\vert=\vert f(x)\vert}$ , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

 

$\displaystyle S(x)=\pi y^2=\pi(f(x))^2,$

а объём тела вращения, как следствие формулы (6.5), равен

 

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx,$

или, более кратко,

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^by^2\;dx.$(6.6)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

, (4.14)

где  – непрерывная функция.

Соответствующее однородное уравнение:

(4.15)

Запишем характеристическое уравнение для уравнения (4.15):

 (4.16)

Общее решение уравнения (4.14) имеет вид:

где  – общее решение уравнения (4.15), а  – частное решение уравнения (4.14).

Форма частного решения  уравнения (4.14) зависит от вида правой части f(х) и корней характеристического уравнения.

Пусть правая часть уравнения (4.14) имеет вид

 (4.17)

где  – многочлены, соответственно степени n и m.

Тогда

 (4.18),

где us(x) и vs(x) – многочлены степени S c неопределенными коэффициентами,  – кратность пар корней α ± βi характеристического уравнения.

Частный случай: Если β=0, то  и  записывается в виде:

un(x), (4.19)

где un(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, r – кратность корня α характеристического уравнения.

Атомные станции