Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Площадь в полярных координатах

     Пример 6.3   Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ (см. рис.).

Рис.6.7.



Применяя формулу (6.3), получаем:

 

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(a{\varphi}^2)^2\;d{\varphi}=
\frac{a^...
...arphi}^5}{5}\Bigl\vert _0^{2\pi}=\frac{a^2}{10}(2\pi)^5=
\frac{16a^2\pi^5}{5}.$

    

Если область $ \mathcal{D}$ имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: $ r=f_1({\varphi})$ и $ r=f_2({\varphi})$ , причём $ f_1({\varphi})\leqslant f_2({\varphi})$ при всех $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (см. рис.), то площадь $ S$ области $ \mathcal{D}$ можно представить как разность двух площадей: $ S_2$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_2({\varphi})$ , -- и $ S_1$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_1({\varphi})$ .

Рис.6.8.



Каждую из площадей $ S_1$ и $ S_2$ можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\Bigl(\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f_2({\varphi}))^2\;d...
...alpha}}^{{\beta}}\bigl((f_2({\varphi}))^2-(f_1({\varphi}))^2\bigr)\;d{\varphi}.$(6.4)

Решение. Составляем характеристическое уравнение

общее решение имеет вид 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

 (4.11)

где – непрерывная функция.

Лагранж разработал общий метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений. Метод применим, если известно общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (8). Этот метод называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Пусть  – общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению(8):

 (4.12)

Метод Лагранжа состоит в том, что общее решение уравнения (8) ищется в виде

где  – неизвестные функции. Эти функции определяются из системы

Для уравнения второго порядка  данная система имеет вид

Суть метода Лагранжа для уравнения состоит в следующем:

1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения   и записываем его в виде

,

где с1 и с2 произвольные постоянные.

2) Для нахождения общего решения неоднородного уравнения  записываем его в виде

 (4.13)

где с1(х) и с2(х) – неизвестные функции, они должны быть такими, чтобы удовлетворялось неоднородное уравнение.

3) Находим выражения для производных функций с1(х) и с2(х).Для этого составляем систему уравнений:

4) Найденные из этой системы производные с11(х), с21(х) интегрируются и выражения с1(х) и с2(х) подставляются в общее решение ( ) со своими произвольными постоянными с1 и с2, полученными при интегрировании.


Атомные станции