Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Площадь области, лежащей между двумя графиками

   Пример 6.1   Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками $ y=x^2$ и $ y=\sqrt{x}$ . Эти графики имеют две общих точки $ (0;0)$ и $ (1;1)$ (см. рис.), причём на отрезке $ [0;1]$ график $ y=\sqrt{x}$ идёт выше, чем график $ y=x^2$ .

Рис.6.2.



Значит, площадь области $ \mathcal{D}$ между графиками равна

 

$\displaystyle S_{\mathcal{D}}=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\;dx=
\frac{2}{3}x\sqrt{x}...
...\vert _0^1-\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _0^1=
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

    

Уравнение в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида (5)  называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y); .

Теорема. Для того чтобы уравнение (5) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнилось условие , функции  и непрерывно дифференцируемы в односвязной области .

Уравнение (5) в этом случае можно записать в виде .

Общий интеграл этого уравнения .

Функция  находится из системы .

Пример 6. Решить уравнение

.

Решение.

.

Т.о. данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, общий интеграл которого имеет вид .

Найдем функцию из системы: .

Из первого уравнения этой системы находим:

Дифференцируя это равенство по  получим

Или учитывая 2-ое уравнение системы, имеем:

 

Следовательно,  а общий интеграл уравнения имеет вид

Атомные станции