Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции $ f(x)$ на каждом из отрезков разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции $ f(x)$ в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена $ P_i(x)$ . Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен $ P_i$ , чтобы его значения в точках $ x_{i-1},\ x_{i-\frac{1}{2}}$ и $ x_i$ совпадали со значениями функции $ f(x)$ в этих же точках:

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1});\ <tex2html_comment_mark>87 P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}});\ <tex2html_comment_mark>88 P_i(x_i)=f(x_i).$(5.3)

Напомним, что через $ x_{i-\frac{1}{2}}$ мы обозначали середину отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ , то есть $ x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$ Функцию можно записать в виде

 

$\displaystyle P_i(x)=a+b(x-x_{i-1})+c(x-x_{i-1})(x-x_{i-\frac{1}{2}});$

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа $ a,b,c$ так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим $ h_i=x_i-x_{i-1}$ , тогда $ x_i-x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{h_i}{2}$ и $ x_{i-\frac{1}{2}}-x_{i-1}=\frac{h_i}{2}$ . Подставим $ x=x_{i-1}$ в выражение для $ P_i(x)$ и получим:

 

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=a,$

то есть

 

$\displaystyle a=f(x_{i-1}).$

Подстановка $ x=x_{i-\frac{1}{2}}$ даёт

 

$\displaystyle P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-1})+b\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

 

$\displaystyle b=\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1})).$

Наконец, подставим $ x=x_i$ и получим

 

$\displaystyle P_i(x_i)=f(x_i)=f(x_{i-1})+\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1}))\cdot h_i+
c\cdot h_i\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

 

$\displaystyle c=\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-f(x_{i-1})-2(f(x_{i-\frac{1}{2}})-f(x_{i-1})))=
\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})).$

Несобственные интервалы.

Пример: , чего не может быть, так как интеграл от положительной функции должен быть положительным. Ошибка от незаконного применения формулы Ньютона-Лейбница. Действительно,  при х=0 не является непрерывной .

Понятие определённого интеграла дано для конечного отрезка  и непрерывной на нём функции . Оно теряет смысл, если интервал интегрирования бесконечен или функция в интервале интегрирования имеет точки разрыва 2го рода.

Интеграл называется несобственным, если функция  не ограничена на , или неограниченна сама область интегрирования.

Атомные станции