Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Приближённое вычисление определённых интегралов

 

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

 

Относительно подынтегральной функции $ f(x)$ мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла $ I$ мы будем по значениям функции $ f(x)$ в некоторых точках отрезка $ x_i$ . Эти значения $ y_i=f(x_i)$ мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям $ y_i$ приближённо определить значение $ I$ , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции $ f(x)\geqslant 0$ . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При $ f(x)\geqslant 0$ вычислить интеграл $ I$ значит найти площадь под графиком $ y=f(x)$ , расположенную над отрезком $ [a;b]$ . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n-1}$ и положим $ x_0=a$ и $ x_n=b$ (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка $ [a;b]$ состоит из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ при $ i=1,\dots,n$ . Вместо площади под графиком, равной $ I$ , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ (см. рис.).

Рис.5.1.

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

 
 

 

 t

Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.

1) Интеграл вида: .

а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то подстановка ,  или  быстрее приводит к цели.

Атомные станции