Контрольная работа по математике криволинейный интеграл по координатам Вычислить линейный интеграл векторного поля Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Интеграл с переменным верхним пределом Вычислим интеграл

ДИСЦИПЛИНА "Уравнения математической физики" 1. Классификация и основные задачи уравнений математической физики Классификация и характеристическая форма дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка в случае n независимых переменных. Характеристики. Классификация и приведение к каноническому виду дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка в случае 2 независимых переменных. Вывод уравнений малых колебаний струны. Основные задачи уравнений гиперболического типа в многомерном случае. Вывод уравнения теплопроводности в одномерном случае и основные задачи. Основные задачи для многомерного уравнения теплопроводности и диффузии. Основные задачи для стационарных уравнений. Внешние и внутренние задачи.

Приближённое вычисление определённых интегралов

 

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

 

Относительно подынтегральной функции $ f(x)$ мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка.

Вычислять значение интеграла $ I$ мы будем по значениям функции $ f(x)$ в некоторых точках отрезка $ x_i$ . Эти значения $ y_i=f(x_i)$ мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям $ y_i$ приближённо определить значение $ I$ , называются квадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции $ f(x)\geqslant 0$ . Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При $ f(x)\geqslant 0$ вычислить интеграл $ I$ значит найти площадь под графиком $ y=f(x)$ , расположенную над отрезком $ [a;b]$ . Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деления $ x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_{n-1}$ и положим $ x_0=a$ и $ x_n=b$ (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка $ [a;b]$ состоит из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ при $ i=1,\dots,n$ . Вместо площади под графиком, равной $ I$ , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ (см. рис.).

Рис.5.1.

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Квадратурная формула трапеций

Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Теорема

Следствие

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Волновой цуг. Так называют функцию, определяемую равенством:

 
 

 

 t

Рис. 23

График функции представлен на рис. 23.

Рассматриваемый сигнал играет в теории связи большую роль. Находим его спектральную плотность.

.

1) Интеграл вида: .

а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то подстановка ,  или  быстрее приводит к цели.

Свойства интеграла, как функции верхнего предела, формула Ньютона-Лейбница. Геометрические и механические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы. Дифференциальные уравнения первого порядка, формулировка теоремы существования и единственности, методы изоклин и ломаных Эйлера. Простейшие классы интегрируемых уравнений и методы их решения. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка( общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами). Примеры математических моделей, сводящихся к дифференциальным уравнениям: уравнение радиоактивного распада, модель роста биомассы, модель роста деревьев, модель "хищник-жертва".

Примеры вычисления интегралов