Вычислить двойной интеграл Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки Вычислить тройной интеграл вычислить объем тела Криволинейные и поверхностные интегралы Контрольная работа по математике

Первообразная и неопределённый интеграл

 

Пусть функция $ f(x)$ задана на некотором интервале $ (a;b)\sbs\mathbb{R}$ . Если найдётся такая функция $ F(x)$ , что при всех $ {x\in(a;b)}$ имеет место равенство

 

$\displaystyle F'(x)=f(x),$

то функция $ F(x)$ называется первообразной для функции $ f(x)$ .

        Пример 1.1   Рассмотрим функцию $ f(x)=x^2$ на всей числовой оси $ \mathbb{R}$  -- на интервале $ (-\infty;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\frac{x^3}{3}$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .

Для доказательства найдём производную от $ F(x)$ :

 

$\displaystyle F'(x)=\Bigl(\frac{x^3}{3}\Bigr)'=\frac{1}{3}(x^3)'=\frac{1}{3}\cdot3x^2=
x^2=f(x).$

Поскольку равенство верно при всех $ x\in\mathbb{R}$ , то $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ \mathbb{R}$ .     

Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция $ f(x)$ задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:

 

$\displaystyle \mathcal{D}=\bigcup_{k}(a_k;b_k),\ k\in\mathbb{Z}.$

Назовём функцию $ F(x)$ первообразной для $ f(x)$ , если при всех $ x\in\mathcal{D}$ выполнено равенство $ F'(x)=f(x)$ .

Пример Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$

Пример

Замечания

Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов

Таблица интегралов

Поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , получаем $\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C.$

Табличная формула $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $ F(x)=\arcsin x$ -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ .

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+k}}=\ln\vert x+\sqrt{x^2+k}\vert+C,$

Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Здесь  После применения рекуррентной формулы получим

Если , то рекуррентной формулой нужно пользоваться несколько раз, пока интеграл не будет сведен к табличному.

Пример 12. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Сначала в числителе выделим производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, далее разобьем интеграл на сумму двух, один из которых легко свести к табличному, а другой найдем по рекуррентной формуле:

Имеем

Если под знаком интеграла стоит сложная рациональная функция, то с ней предварительно выполняют следующие преобразования:

если рациональная дробь неправильная, то сначала представляют ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби

многочлен, стоящий в знаменателе рациональной функции, следует разложить на линейные и квадратичные множители в зависимости от того, каковы корни этого многочлена

  ,

где квадратный трехчлен  не имеет действительных корней, а  р и q - действительные числа;

правильную рациональную дробь  (степень многочлена

Р(х) меньше степени многочлена Q(x)) раскладывают на простейшие дроби:

вычисляют неопределенные коэффициенты ,

В конечном итоге интегрирование рациональной функции сводится к отысканию интеграла от суммы многочлена и простейших рациональных дробей.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших дробей. Поясним это на примерах.

Условный экстремум. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши. Метод выделения главной части. Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Теорема Лейбница. Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда, sup-критерий, критерий Коши. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональной последовательности, ряда. Полнота пространства C[a,b].

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции