Контрольная работа по математике криволинейный интеграл по координатам Вычислить линейный интеграл векторного поля Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Интеграл с переменным верхним пределом Вычислим интеграл

Несобственные интегралы Примеры решений задач

     Пример 4.7   Рассмотрим несобственный интеграл $\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

 

Поскольку $ \vert\sin x\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ , функция $ {g(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{1+x^2}}}$ служит мажорантой для $ {f(x)=\frac{\textstyle{\sin x}}{\textstyle{1+x^2}}}$ на $ [0;+\infty)$ . Интеграл от этой мажоранты сходится и равен $ \frac{\pi}{2}$ , как мы проверяли выше, см.  пример 4.1. Значит, сходится и данный нам интеграл $ I$ , причём его значение не превосходит $ \frac{\pi}{2}$ по абсолютной величине:

 

$\displaystyle \Bigl\vert\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx\Bigr\vert\leqslant \frac{\pi}{2}.$

 

Пример. Найти дифференциал функции , x>0, в производной точке M(x;y) и в точке M0(2;1;4).

Решение. .

, , .

тогда

Заменяя в последнем выражении x,y,z их значениями в точке M0(2,1,4), получим

.

Теоремы и соответствующие формулы для дифференциалов арифметических действий, установленные для функций одной переменной, остаются справедливыми и для функций n переменных x.

Примеры вычисления интегралов