Контрольная работа по математике криволинейный интеграл по координатам Вычислить линейный интеграл векторного поля Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Интеграл с переменным верхним пределом Вычислим интеграл

Несобственные интегралы Примеры решений задач

  Теорема 4.3   Если интеграл $\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то сходится также интеграл $\displaystyle \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx,$

причём имеет место неравенство
$\displaystyle \Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$

        Доказательство.     Представим $ f(x)$ в виде разности двух неотрицательных функций $ f_+(x)\geqslant 0$ и $ f_-(x)\geqslant 0$ :

 

$\displaystyle f(x)=f_+(x)-f_-(x).$

Для этого достаточно положить
$\displaystyle f_+(x)=\max\{f(x);0\}=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\text{ если }f(x)<0;\\
f(x),&\text{ если }f(x)\geqslant 0
\end{array}\right.$

и
$\displaystyle f_-(x)=\max\{-f(x);0\}=\left\{\begin{array}{ll}
0,&\text{ если }f(x)>0;\\
-f(x),&\text{ если }f(x)\leqslant 0.
\end{array}\right.$

(Проверьте, что тогда действительно получается $ f(x)=f_+(x)-f_-(x)$ .) Согласно определению функций $ f_+$ и $ f_-$ , получаем также равенство
$\displaystyle \vert f(x)\vert=f_+(x)+f_-(x).$

Поскольку $ f_+(x)\geqslant 0$ и $ f_-(x)\geqslant 0$ , отсюда сразу получаем, что имеют место неравенства
$\displaystyle 0\leqslant f_+(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и $\displaystyle 0\leqslant f_-(x)\leqslant \vert f(x)\vert.$

Поэтому, по теореме 4.2, несобственные интегралы от функций $ f_+(x)$ и $ f_-(x)$ сходятся, поскольку по предположению сходится интеграл от $ \vert f(x)\vert$ . Вычислим теперь несобственный интеграл от $ f(x)$ :

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int_a^{+\infty}(f_+(x)-f_-(x))\;dx=
 \lim_{b\to+\infty}\int_a^b(f_+(x)-f_-(x))\;dx=$   
$\displaystyle =\lim_{b\to+\infty}\Bigl(\int_a^bf_+(x)\;dx-\int_a^bf_-(x))\;dx\B...
...
 \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf_+(x)\;dx-
 \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf_-(x))\;dx=$   
$\displaystyle =\int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx-\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx.$   

Мы доказали тем самым, что интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится. Поскольку $ {\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx\geqslant 0}$ , то

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx-\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx\leqslant$   
$\displaystyle \leqslant \int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx+\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx=
 \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$   

Но поскольку $ \vert-f(x)\vert=\vert f(x)\vert$ , это же неравенство можно написать и для функции $ -f(x)$ , получив тем самым, одновременно

 

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$    и $\displaystyle -\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$

Взятые вместе, эти два неравенства означают, что

 

$\displaystyle \Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx,$

и доказательство закончено.     

        Определение 4.4   Если несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$ сходится, то несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется абсолютно сходящимся.

Если же несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$ расходится, а несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, а несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется условно сходящимся.     

Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.

        Определение 4.5   Неотрицательная функция $ g(x)$ называется мажорантой для функции $ f(x)$ на множестве $ \mathcal{D}$ , лежащем в области определения обеих функций, если

 

$\displaystyle \vert f(x)\vert\leqslant g(x)$ при всех $\displaystyle x\in\mathcal{D}.$

    

  Теорема 4.4   Пусть для функции $ f(x)$ , интегрируемой на любом отрезке $ [a;b]$ , существует мажоранта $ g(x)$ на $ [a;+\infty)$ , причём несобственный интеграл $ {J=\int_a^{+\infty}g(x)\;dx}$ сходится. Тогда несобственный интеграл $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ тоже сходится, и $ \vert I\vert\leqslant J$ .

        Доказательство.     Поскольку $ 0\leqslant \vert f(x)\vert\leqslant g(x)$ и интеграл $ J$ сходится, то по теореме 4.2 интеграл $ {\int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx}$ также сходится. Это означает, что интеграл $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ сходится абсолютно, откуда следует сходимость самого интеграла $ I$ , причём

 

$\displaystyle \vert I\vert=\Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx
\leqslant \int_a^{+\infty}g(x)\;dx=J,$

что и завершает доказательство.     

Таким образом, чтобы установить сходимость несобственного интеграла $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ , достаточно найти для $ f(x)$ на >$ [a;+\infty)$ такую мажоранту $ g(x)$ , что интеграл $ {J=\int_a^{+\infty}g(x)\;dx}$ сходится.

   

Пример. Найти частные производственные функции

 

Итак, все формулы и правила нахождения производной функции одного переменного без изменений переносятся на функции нескольких переменных.

 

 

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Если полное приращение ΔZ функции в точке М(x;y) можно представить в виде:

,

где ;   - бесконечно малая функция   при , то функция Z=f(x;y), называется дифференцируемой в точке M(x;y), а выражение  называется полным дифференциалом функции Z=f(x;y) в точке M(x;y), так как , получим  - формула вычисления дифференциала функции Z=f(x;y). Эта формула справедлива и для функции n переменных (n>2).

Например, при n=3, u=f(x,y,z) имеем:

Формула (1) может быть записана в виде

где ,   - частные дифференциалы функции Z=f(x;y).

Примеры вычисления интегралов