Контрольная работа по математике криволинейный интеграл по координатам Вычислить линейный интеграл векторного поля Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Интеграл с переменным верхним пределом Вычислим интеграл

Несобственные интегралы Примеры решений задач

   Пример 4.4   Исследуем сходимость несобственного интеграла $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

 

При больших значениях $ x$ (которые, вследствие замечания 4.3, только и имеют значение для сходимости интеграла) дробь $ f(x)=\frac{\textstyle{x^2-x-5}}{\textstyle{x^8+1}}dx$ имеет почти такие же значения, как дробь $ g(x)=\frac{1}{x^6}$ . Действительно, поделив числитель и знаменатель дроби $ f(x)$ на $ x^2$ , получим
$\displaystyle f(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}{x^6+\frac{1}{x^2}}.$

Дроби $ \frac{1}{x},\ \frac{5}{x^2}$ и $ \frac{1}{x^2}$ при больших $ x$ принимают пренебрежимо малые значения, так что ведущую роль будет играть функция $ g(x)$ , получающаяся при отбрасывании этих малых слагаемых в числителе и знаменателе.

Интеграл от функции $ g(x)$ сходится: поскольку $ p=6>1$ , то получаем сходящийся интеграл

$\displaystyle Z(6)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^6}.$

Теперь аккуратно проверим выполнение условий теоремы 4.2. При достаточно больших $ x$ (больших большего корня $ x_0=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ уравнения $ x^2-x-5=0$ ) обе функции, $ f(x)$ и $ g(x)$ , принимают положительные значения и

 

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-5}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8}=\frac{1}{x^6}=g(x).$

Поэтому из сходимости интеграла от $ g(x)$ , которую мы уже проверили, следует сходимость интеграла от $ f(x)$ по промежутку $ [x_0;+\infty)$ .

На основании теоремы 4.1 сходится и исходный интеграл.     

  

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.

Примеры вычисления интегралов