Контрольная работа по математике Приближённые вычисления с помощью дифференциала Площадь области, лежащей между двумя графиками Приближённое нахождение первообразных С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

ДИСЦИПЛИНА "Теория функций комплексной переменной" Предел последовательности комплексных чисел. Ряды с комплексными членами. Сфера Римана. Формула Эйлера. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Комплексная производная. Дифференцируемые функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной производной. Голоморфные функции и конформные отображения. Голоморфность и конформность в бесконечно удалённой точке. Производная обратной функции. Дробно-линейные отображения. Степень и радикал, экспонента и логарифм. Тригонометрические функции. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкой кривой и его свойства. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула коши и следствия из неё. Основная теорема алгебры. Функциональные ряды. Почленное интегрирование рядов. Степенные ряды и их свойства.

Несобственные интегралы Примеры решений задач

  Пример 4.3   Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона $\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ сходится.

(Заметим сразу, что соответствующий неопределённый интеграл $ \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx$  -- неберущийся, то есть не выражается через элементарные функции. Так что надежды вычислить этот интеграл "в лоб", применив формулу Ньютона - Лейбница, нет.)

Для сравнения выберем функцию $ g(x)=e^{-x}$ , неопределённый интеграл от которой легко считается:

 

$\displaystyle \int e^{-x}dx=-e^{-x}+C.$

Очевидно, что обе функции, $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ и $ g(x)=e^{-x}$ , положительны. Покажем, что при достаточно больших $ x$ имеет место неравенство $ f(x)\leqslant g(x)$ . Поскольку $ e^z$  -- возрастающая функция переменного $ z$ , неравенство

 

$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}}\leqslant e^{-x}$

эквивалентно неравенству между показателями степени:

 

$\displaystyle -\frac{x^2}{2}\leqslant -x,$

которое, как легко видеть, выполняется при всех $ x\geqslant 2$ . Значит, $ 0<f(x)\leqslant g(x)$ при $ x\geqslant 2$ . Однако интеграл от большей функции сходится:

 

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=
\lim_{b\to+\infty}(-e^{-x})\Bigr\vert _0^b=
\lim_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1.$

Согласно замечанию 4.3 и теореме 4.2, отсюда следует сходимость интеграла
$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.$

    

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией вида $ g(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^p}}$ . Определим, при каких значениях показателя $ p$ интеграл

 

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$

cходится.

Рассмотрим случай $ p>1$ . Тогда

 

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=
\frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl...
...
-\frac{1}{p-1}\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}+\frac{1}{p-1}=\frac{1}{p-1},$

поскольку при $ p-1>0$

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}=0.$

Значит, при $ p>1$ интеграл сходится и имеет значение $ Z(p)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{p-1}}.$

Рассмотрим случай $ p=1$ . Тогда

 

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}=
\ln\vert x\vert\Bigl\vert _1^{+\infty}=
\lim_{x\to+\infty}\ln x-\ln1=+\infty,$

поскольку

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$

(то есть предела не существует) и $ \ln1=0$ . Значит, при $ p=1$ интеграл расходится.

Рассмотрим случай $ p<1$ . Тогда

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}=
\frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl\vert _1^{+\infty}=
\frac{1}{1-p}\lim_{x\to+\infty}x^{1-p}-\frac{1}{1-p}=+\infty,$

поскольку при $ 1-p>0$

 

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{1-p}=+\infty.$

Значит, при $ p<1$ интеграл расходится.

Итак, интеграл сходится (и функция $ Z(p)$ определена и равна $ \frac{1}{p-1}$ ) только при $ p>1$ ; при $ p\leqslant 1$ интеграл расходится.

  

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

А. Будем полагать, что функция задана на отрезке длиной, равной периоду , и периодически продолжить ее на всю числовую ось с этим периодом

(рис. 10).

y

img width=2 height=93 src="ris6/image1154.gif"> -2p -p 0 p 2p х

Рис. 10 

Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по общим формулам (9), (10), полагая .

;

, ;

;

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом и периодически на всю числовую ось. В данном случае . Вычисляем коэффициенты Фурье полученной функции по формулам (5).

График функции представлен на рис. 11.

 y

 -p p  x

 

Рис. 11

 

 

 0

 .

Итак, .

Заметим, что ряды Фурье, полученные в пп. А и Б, сходятся на отрезке   к одной и той же формуле , во втором случае вычислений нужно проводить меньше, чем в первом.

Во многих случаях удобно использовать комплексную формулу ряда Фурье, которую можно получить с помощью формул Эйлера:

; .

Для функций с произвольным периодом  ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

 , (15)

где

 . (16)

ДИСЦИПЛИНА "Дифференциальные уравнения (дополнительные разделы), использование функций комплексного переменного" 1. Нормальная система обыкновенных уравнений первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Линейные системы. Свойства решений. 2. Линейно зависимые и независимые вектор-функции. Определитель Вронского для вектор-функций, его свойства. 3. Фундаментальная система решений. Её существование. Общее решение линейной однородной системы. 4. Неоднородные линейные системы. Общее решение. Метод вариации постоянных. 5. Автономные системы. Фазовые пространства и траектории. Первые интегралы. Необходимое и достаточное условие существования первого интеграла. Формулировка теоремы о существовании независимых первых интегралов системы го порядка. 6. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. 7. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Сведение к системе обыкновенных уравнений. 8. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Линейные и нелинейные волны. 9. Течение воды в канале. 10. Уравнение кинематической волны.

Примеры вычисления интегралов