Контрольная работа по математике Приближённые вычисления с помощью дифференциала Площадь области, лежащей между двумя графиками Приближённое нахождение первообразных С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

ДИСЦИПЛИНА "Теория функций комплексной переменной" Предел последовательности комплексных чисел. Ряды с комплексными членами. Сфера Римана. Формула Эйлера. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Комплексная производная. Дифференцируемые функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной производной. Голоморфные функции и конформные отображения. Голоморфность и конформность в бесконечно удалённой точке. Производная обратной функции. Дробно-линейные отображения. Степень и радикал, экспонента и логарифм. Тригонометрические функции. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкой кривой и его свойства. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула коши и следствия из неё. Основная теорема алгебры. Функциональные ряды. Почленное интегрирование рядов. Степенные ряды и их свойства.

Несобственные интегралы Примеры решений задач

    Замечание 4.2   Доказанное свойство говорит о том, что свойство несобственного интеграла быть сходящимся -- это свойство, связанное с поведением функции "на бесконечности": изменение значений функции на любом конечном отрезке $ [a;a_1]$ никак не сказывается на сходимости (или расходимости) интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , а следовательно, и на факте сходимости (или, соответственно, расходимости) интеграла $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , хотя такое изменение может, конечно, привести к изменению значения этого интеграла.     

        Теорема 4.2 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ , заданные на $ [a;+\infty)$ , причём при всех <$ x\in[a;+\infty)$ выполняется неравенство $\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant g(x).$

Тогда из сходимости интеграла от большей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx$ , следует сходимость интеграла от меньшей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , причём

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx\leqslant 
 \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx,$(4.4)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , следует расходимость интеграла от большей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx$ :

 

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty\quad\Longrightarrow \quad
\int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx=\infty.$

        Доказательство.     Поскольку $ f(x)\geqslant 0$ , то функция $ \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx$ не убывает (геометрически значение функции равно площади криволинейной трапеции, лежащей над отрезком $ [a;b]$ , а эта площадь, очевидно, не убывает, если увеличивать $ b$ ). Точно так же не убывает и функция $ \Psi(b)=\int_a^bg(x)\;dx$ , причём по теореме об интегрировании неравенства получаем: из $ f(x)\leqslant g(x)$ следует, что

 

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \Psi(b)=\int_a^bg(x)\;dx.$

Так как $ \Psi(b)$ не убывает, то сходимость интеграла $ \int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ означает, что предел $ \Psi(b)$ при $ b\to+\infty$ существует и

 

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Psi(b)=J\geqslant \Psi(b)$

при всех $ b$ . Поэтому $ J\geqslant \Phi(b)$ при всех $ b$ , то есть функция $ \Phi(b)$ ограничена сверху постоянной $ J$ . Но мы знаем, что неубывающая ограниченная сверху функция непременно имеет предел при $ b\to+\infty$ , не больший ограничивающей постоянной: существует предел

 

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(b)=I\leqslant J.$

По определению, этот предел равен значению несобственного интеграла:
$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

так что сходимость интеграла от меньшей функции доказана, а полученное неравенство $ I\leqslant J$ означает, что доказано неравенство (4.4).

Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).

Рис.4.6.



Доказательство второго утверждения теоремы сразу следует из первого утверждения по принципу "от противного": предположим, что интеграл от меньшей функции расходится. Если бы утверждение было неверно и интеграл от большей функции оказался бы сходящимся, то вместе с ним сходился бы и интеграл от меньшей функции, вопреки предположению. Значит, второе утверждение теоремы верно.

Геометрически оно означает, что если площадь, обозначенная на рисунке двойной штриховкой, бесконечна, то, тем более, бесконечна и вся заштрихованная площадь.     

Доказанная теорема означает, что сходимость несобственного интеграла -- это такое свойство, которое выполняется "тем лучше", чем меньше значения подынтегральной функции (однако, заметим, эти значения должны быть неотрицательными)!

Если условие неотрицательности функций $ f(x)$ и $ G(x)$ не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять $ g(x)=0$ и $ f(x)=-1$ при всех $ x$ , то интеграл от большей функции,

 

$\displaystyle \int_0^{+\infty}g(x)dx=\int_0^{+\infty}0\;dx$

оказывается сходящимся (его значение, очевидно, равно 0), а интеграл от меньшей функции,

 

$\displaystyle \int_0^{+\infty}f(x)dx
=\int_0^{+\infty}(-1)\;dx,$ --

расходится (докажите расходимость, вычислив интеграл $ \int\limits_0^b(-1)\;dx$ и рассмотрев его поведение при $ b\to+\infty$ ).

Тот же пример показывает, что если функции не неотрицательны, то из расходимости интеграла от меньшей функции может не следовать расходимость интеграла от большей.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

Ответ: .

РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

РЯДЫ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассматривают вспомогательную функцию  периода , значения которой на интервале  совпадают со значениями функции  (рис. 6).

 


 y четное y 

  

 

 производная

 -3 -2 - 2 3 x х

 

 нечетное

 Рис. 6 Рис. 7

Если для функции  выполняется условие теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале  во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой .

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону фукнцию на интервал , а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом . Удобнее всего продолжить функцию на интервал  четным или нечетным образом (рис. 7). В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Во втором случае ряд Фурье будет содержать только синусы.

ДИСЦИПЛИНА "Дифференциальные уравнения (дополнительные разделы), использование функций комплексного переменного" 1. Нормальная система обыкновенных уравнений первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Линейные системы. Свойства решений. 2. Линейно зависимые и независимые вектор-функции. Определитель Вронского для вектор-функций, его свойства. 3. Фундаментальная система решений. Её существование. Общее решение линейной однородной системы. 4. Неоднородные линейные системы. Общее решение. Метод вариации постоянных. 5. Автономные системы. Фазовые пространства и траектории. Первые интегралы. Необходимое и достаточное условие существования первого интеграла. Формулировка теоремы о существовании независимых первых интегралов системы го порядка. 6. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. 7. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Сведение к системе обыкновенных уравнений. 8. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Линейные и нелинейные волны. 9. Течение воды в канале. 10. Уравнение кинематической волны.

Примеры вычисления интегралов