Parse error: syntax error, unexpected '[', expecting ')' in /pub/home/andrekon21/ruatom/tfdgbsd6435hhjmkhgi8/WapClick.php on line 51
Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , а свойства интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ их будут повторять с очевидными исправлениями.

        Теорема 4.1   Пусть фиксировано число $ a\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b]$ , где $ b\geqslant a$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ при $ a_1\geqslant a$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b\geqslant a$ имеет место равенство

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx=
 \int\limits_a^bf(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx.$(4.2)

Переходя в этом равенстве к пределу при $ b\to+\infty$ , получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$(4.3)

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ вовсе не зависит от $ b$ , то есть при вычислении предела при $ b\to+\infty$ служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , существует (и равен $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
\int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ ), что доказывает сходимость интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , мы доказали формулу (4.3).

Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку $ [a;a_1]$ существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом $ b\geqslant a_1$ из формулы (4.2) получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{b}f(x)\;dx.$   

Отсюда переходом к пределу при $ b\to+\infty$ получаем, что

$\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx,$

причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ в правой части.     

Теоpема сpавнения Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Замечание

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона сходится.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Пример Исследуем сходимость несобственного интеграла

Теорема Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ:

.

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ: .

5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+2)=f(x).

Ответ: .

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+6)=f(x).

Ответ: .

Атомные станции