Контрольная работа по математике Приближённые вычисления с помощью дифференциала Площадь области, лежащей между двумя графиками Приближённое нахождение первообразных С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

ДИСЦИПЛИНА "Теория функций комплексной переменной" Предел последовательности комплексных чисел. Ряды с комплексными членами. Сфера Римана. Формула Эйлера. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность. Комплексная производная. Дифференцируемые функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента комплексной производной. Голоморфные функции и конформные отображения. Голоморфность и конформность в бесконечно удалённой точке. Производная обратной функции. Дробно-линейные отображения. Степень и радикал, экспонента и логарифм. Тригонометрические функции. Интеграл от функции комплексной переменной по кусочно-гладкой кривой и его свойства. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула коши и следствия из неё. Основная теорема алгебры. Функциональные ряды. Почленное интегрирование рядов. Степенные ряды и их свойства.

Несобственные интегралы Примеры решений задач

Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , а свойства интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ их будут повторять с очевидными исправлениями.

        Теорема 4.1   Пусть фиксировано число $ a\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b]$ , где $ b\geqslant a$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ при $ a_1\geqslant a$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b\geqslant a$ имеет место равенство

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx=
 \int\limits_a^bf(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx.$(4.2)

Переходя в этом равенстве к пределу при $ b\to+\infty$ , получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$(4.3)

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ вовсе не зависит от $ b$ , то есть при вычислении предела при $ b\to+\infty$ служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , существует (и равен $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx-
\int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ ), что доказывает сходимость интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , мы доказали формулу (4.3).

Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку $ [a;a_1]$ существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом $ b\geqslant a_1$ из формулы (4.2) получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{b}f(x)\;dx.$   

Отсюда переходом к пределу при $ b\to+\infty$ получаем, что

$\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)\;dx=
 \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+
 \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx,$

причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ в правой части.     

Теоpема сpавнения Пусть даны две функции и , заданные на , причём при всех выполняется неравенство

Замечание

Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона сходится.

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Исследуем сходимость несобственного интеграла

Пример Исследуем сходимость несобственного интеграла

Теорема Если интеграл сходится, то сходится также интеграл

Рассмотрим несобственный интеграл

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ:

.

2. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

3. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом , заданную на интервале  уравнением .

Ответ: .

5. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+2)=f(x).

Ответ: .

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию

 f(x+6)=f(x).

Ответ: .

ДИСЦИПЛИНА "Дифференциальные уравнения (дополнительные разделы), использование функций комплексного переменного" 1. Нормальная система обыкновенных уравнений первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решений. Линейные системы. Свойства решений. 2. Линейно зависимые и независимые вектор-функции. Определитель Вронского для вектор-функций, его свойства. 3. Фундаментальная система решений. Её существование. Общее решение линейной однородной системы. 4. Неоднородные линейные системы. Общее решение. Метод вариации постоянных. 5. Автономные системы. Фазовые пространства и траектории. Первые интегралы. Необходимое и достаточное условие существования первого интеграла. Формулировка теоремы о существовании независимых первых интегралов системы го порядка. 6. Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. 7. Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Сведение к системе обыкновенных уравнений. 8. Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения. Линейные и нелинейные волны. 9. Течение воды в канале. 10. Уравнение кинематической волны.

Примеры вычисления интегралов