Контрольная работа по математике Приближённые вычисления с помощью дифференциала Площадь области, лежащей между двумя графиками Приближённое нахождение первообразных С помощью тройного интеграла вычислить объем тела

1. Фундаментальная матрица системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского. 2. Система линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Структура общего решения, метод вариации постоянных. 3. Экспонента от матрицы. Фундаментальная матрица однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Формула Дюамеля для решения неоднородной системы. 4. Основные понятия теории устойчивости. Точки покоя. Исследование нелинейной системы на устойчивость по первому приближению. Линеаризация. 5. Точки покоя системы двух однородных линейных уравнений с постоянными действительными коэффициентами. 6. Фазовый портрет траекторий системы в окрестности положения равновесия.. Устойчивость типа точки покоя по отношению к малому возмущению.

Интеграл с переменным верхним пределом

 

Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ , и предположим, что она интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда при любом $ x\in(a;b]$ эта функция будет интегрируема на отрезке $ [a;x]$ и, следовательно, функция

 

$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$

определена при всех $ x\in(a;x]$ . При $ x=a$ мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что $ \int_a^af(t)\;dt=0$ для любой функции $ f$ и точки $ c$ из её области определения. Итак, функция $ \Phi(x)$ равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции $ f(x)$ , не обязательно непрерывной.

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Подстановки Эйлера. (1707-1783)

Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители

a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Дисциплина "Дифференциальные уравнения с частными производными" 1. Линейные пространства, примеры. Скалярное произведение и норма в линейном пространстве. Неравенство Коши-Буняковского. 2. Ортогональность. Примеры ортогональных систем. Линейная независимость ортогональных функций. 3. Разложение функций по ортогональной системе. Коэффициенты Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. 4. Тригонометрические ряды Фурье. Вычисление коэффициентов. Формулировки теорем о сходимости. 5. Вывод одномерного уравнения теплопроводности. Постановка краевых задач для этого уравнения. 6. Метод сеток для решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Явная и неявная схемы. 7. Разделение переменных в одномерном уравнении теплопроводности. Основная лемма Фурье. 8. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций. Формулировка теоремы Стеклова.

Предел функции http://arhitektu.ru/Math_test/index1.html
Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции