Сети
Сопромат
Контрольная
Физика
Оптика
Лабораторные
Геометрия
Примеры
Энерго
Электротехника
Черчение
Задачи
АЭС
Математика
Инженерка
Графика

Интеграл с переменным верхним пределом

 

Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ , и предположим, что она интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда при любом $ x\in(a;b]$ эта функция будет интегрируема на отрезке $ [a;x]$ и, следовательно, функция

 

$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$

определена при всех $ x\in(a;x]$ . При $ x=a$ мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что $ \int_a^af(t)\;dt=0$ для любой функции $ f$ и точки $ c$ из её области определения. Итак, функция $ \Phi(x)$ равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции $ f(x)$ , не обязательно непрерывной.

Теорема Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

Пример Для нахождения значения определённого интеграла $\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

Найдём определённый интеграл $\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

Некоторые приёмы нахождения определённых интегралов Теперь, после изучения формулы Ньютона - Лейбница, мы можем, в принципе, найти определённый интеграл для любой функции, для которой умеем вычислить неопределённый интеграл, и для этого не нужно никаких дополнительных формул и правил. Однако для уменьшения громоздкости вычисления некоторых интегралов, полезно получить формулы для определённого интеграла в тех случаях, когда приходится применять замену переменного или формулу интегрирования по частям.

Подстановки Эйлера. (1707-1783)

Если а>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой

.

Если a<0 и c>0, то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители

a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида  рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.

Атомные станции