Вычислить двойной интеграл Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки Вычислить тройной интеграл вычислить объем тела Криволинейные и поверхностные интегралы Контрольная работа по математике

Дисциплина "Линейная алгебра" Линейные и унитарные пространства. 1. Линейное пространство, его базис и размерность. 2. Изоморфизм линейных пространств. Переход от одного базиса к другому. 3. Подпространства, линейные оболочки, прямая сумма подпространств. 4. Унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Скалярное произведение. Нормированное пространство. 5. Ортогональные и ортонормированные системы и базисы, ортогонализация. 6. Изоморфизм унитарных пространств. 7. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция не подпространство.

Интегрирование функции Примеры решений

1. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ , где $ a\ne0,\ b,\ c$  -- некоторые постоянные, вида

 

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$

(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение $ Mx+N$ , где $ M$ и $ N$  -- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.) Уравнения Колмогорова

Такие интегралы приводятся к табличным следующим способом. Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:

 

$\displaystyle ax^2+bx+c=a\bigl(x^2+2x\cdot\frac{b}{2a}+\bigl(\frac{b}{2a}\bigl)...
...2a}\bigl)^2\bigl)=
a\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigl)^2+\bigl(c-\frac{b^2}{4a}\bigl).$

После этого сделаем линейную замену $ z=x+\frac{b}{2a}$ и получим интеграл одного из видов:

 

$\displaystyle \int\frac{mz+n}{z^2+d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{z^2-d^2}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{z^2\pm d^2}}\,dz;\ %
\int\frac{mz+n}{\sqrt{d^2-z^2}}\,dz$

при некоторых постоянных $ m,n$ и $ d$ . Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем $ mz$ , делаем замену $ {u=z^2+d^2}$ , $ {u=z^2-d^2}$ или $ {u=d^2-z^2}$ , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с $ n$ в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

       

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

Вычислим интеграл

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Расмотрим интеграл вида

Найдём интеграл

Вычислим интеграл

Рассмотрим случай вычисления интеграла

Пример Найдём интеграл $\dis

Пример Вычислим интеграл

Формула понижения степени

Вычислим интеграл

Рациональные функции и их интегрирование

Пример Разделим с остатком -- многочлен третьей степени -- на бином $ {Q(x)=x-2}$ -- многочлен первой степени:

Разложим на множители многочлен третьей степени .

Разложим рациональную дробь

Замечание

Вычислим интеграл

Пример Вычислим интеграл

Пример 30.  Найти интеграл .

Решение:

.

Пример 31.  Найти интеграл .

Решение:

 

в) m и n - четные числа, но хотя бы одно из них отрицательное.

В этом случае следует сделать замену ( или .

Пример 32. Найти интеграл  .

Решение:

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции