Примеры задач на вычисление интегралов Контрольная работа по математике

Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл http://aqua-chistka.ru/himchistka-mebeli/ - работа по химчистке мягкой мебели в Москве. Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика

Математика
Контрольная работа по математике
Примеры решения типовых задач
Вычислим интеграл
Задачи на интеграл
Свойства неопределённого интеграла
Физика задачи
Законы геометрической оптики
Точечный источник волн
Фокусное расстояние линзы
Дифракционная решетка
Оптическая пирометрия

Квантовая физика

Курс лекций по ядерным реакторам
Физика лабораторные работы
Закон преломления света
Дисперсия и поглощение света
Дифракционная решетка
Примеры задач по физике
Лабораторные работы задачи
по электротехнике
Ядерная физика
Ядерная физика лекции
Электрические цепи
Магнитное поле и магнитные цепи
Волоконно-оптические приборы
Электронные усилители
Инженерка
История искусства
Сопромат
Начертательная геометрия
Типовые задачи по начерталке
Черчение
Художники, меценаты
Инженерная графика примеры
Информатика
Информационно-вычислительные
системы и сети

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Криволинейные и поверхностные интегралы

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

 

Цилиндрические и сферические координаты
для вычисления тройных интегралов

При вычислении тройных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных.

Пусть

 ,  (54)

– функции, определенные во всем пространстве x y z или некоторой его области V. Допустим также, что систему уравнений (54) можно однозначно разрешить относительно x, y и z:

, , . (55)

Тогда каждой точке M(x, y, z) из области V будет взаимно однозначно соответствовать тройка чисел , называемых криволинейными координатами этой точки. Если область V расположена в той части пространства xyz, в которой введены криволинейные координаты , то справедлива формула

,

где V¢ – область изменения криволинейных координат u, v, w, отвечающая области V, а J – якобиан преобразования (55):

.

В частности, в цилиндрических координатах формулы (55) имеют вид (рис. 22) – ,, z=z , где , , .


В этом случае |J| = r и переход от прямоугольных координат x, y, z к цилиндрическим координатам j, r, z осуществляется по формуле

. (56)

В сферических координатах формулы (55) имеют вид (рис. 22)

, , , (57)

где .

В этом случае  и переход от прямоугольных координат x, y, z к сферическим координатам j, q, r осуществляется по формуле

 (58)

Замечания. Использование цилиндрических координат полезно в тех случаях, когда область V ограничена параболоидами, цилиндрами, конусами и их сочетаниями с другими поверхностями. Использование сферических координат полезно в тех случаях, когда область V ограничена сферическими поверхностями, а также коническими поверхностями с вершинами в начале координат.

Если тело ограничено поверхностями: эллиптическим цилиндром , эллиптическим параболоидом , эллиптическим конусом  и их сочетаниями с эллипсоидом , то используют переход от прямоугольных координат к обобщенным цилиндрическим координатам:

, z = z , J = a b r.

Если тело ограниченно эллипсоидом или эллипсоидом и эллиптическим конусом, то используют переход от прямоугольных координат к обобщенным сферическим координатам (, ,  и ).

Приложения тройного интеграла
(см. Примеры 16–17. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Вычисление объемов. Объем пространственного тела находится по формуле

. (59)

В цилиндрических координатах

. (60)

В сферических координатах

. (61)

Приложения в механике. Пусть V – область пространства, занимаемая каким-либо материальным телом с плоскостью m(x, y, z). Тогда:

а) масса этого тела m находится по формуле

; (62)

б) моменты инерции Ix, Iy, Iz относительно координатных осей 0x, 0y, 0z; Ixy, Ixz, Iyz относительно координатных плоскостей x0y, x0z, y0z; I0 относительно начала координат соответственно находятся

, (63)

, (64)

; (65)

, (66)

, (67)

; (68)

; (69)

в) координаты центра тяжести тела находятся по формулам:

, (70)

, (71)

. (72)

Для однородного тела (μ = const) эти формулы упрощаются, так как в этом случае можно считать, что μ = 1.

 

Определение первообразной и её свойства

Свойства неопределённого интеграла

Приближённое нахождение первообразных

Нахождение неопределённых интегралов Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований  

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Интеграл с переменным верхним пределом

Формула замены переменного в определённом интеграле Пример Вычислим интеграл

Свойства несобственных интегралов первого рода

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь области, лежащей между двумя графиками

Площадь поверхности вращения

Функции нескольких переменных и их дифференцирование Открытые и замкнутые области  

Частные производные высших порядков

Производные неявно заданной функции

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Градиент и производная по направлению Определение градиента и стационарных точек функции

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

 

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции