Примеры задач на вычисление интегралов Контрольная работа по математике

Физика примеры решения задач Электротехника Задачи и лабораторные работы Математика примеры решения задач Вычислить интеграл Информатика Компьютерные сети Компьютерная математика Порно Латинки по материалам pornosexrolik.com.

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью  и прямыми у = х и .

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью

Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Криволинейные и поверхностные интегралы

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Пример 7. Вычислить , где  – окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

 

Цилиндрические и сферические координаты
для вычисления тройных интегралов

При вычислении тройных интегралов иногда бывает полезно сделать замену переменных.

Пусть

 ,  (54)

– функции, определенные во всем пространстве x y z или некоторой его области V. Допустим также, что систему уравнений (54) можно однозначно разрешить относительно x, y и z:

, , . (55)

Тогда каждой точке M(x, y, z) из области V будет взаимно однозначно соответствовать тройка чисел , называемых криволинейными координатами этой точки. Если область V расположена в той части пространства xyz, в которой введены криволинейные координаты , то справедлива формула

,

где V¢ – область изменения криволинейных координат u, v, w, отвечающая области V, а J – якобиан преобразования (55):

.

В частности, в цилиндрических координатах формулы (55) имеют вид (рис. 22) – ,, z=z , где , , .


В этом случае |J| = r и переход от прямоугольных координат x, y, z к цилиндрическим координатам j, r, z осуществляется по формуле

. (56)

В сферических координатах формулы (55) имеют вид (рис. 22)

, , , (57)

где .

В этом случае  и переход от прямоугольных координат x, y, z к сферическим координатам j, q, r осуществляется по формуле

 (58)

Замечания. Использование цилиндрических координат полезно в тех случаях, когда область V ограничена параболоидами, цилиндрами, конусами и их сочетаниями с другими поверхностями. Использование сферических координат полезно в тех случаях, когда область V ограничена сферическими поверхностями, а также коническими поверхностями с вершинами в начале координат.

Если тело ограничено поверхностями: эллиптическим цилиндром , эллиптическим параболоидом , эллиптическим конусом  и их сочетаниями с эллипсоидом , то используют переход от прямоугольных координат к обобщенным цилиндрическим координатам:

, z = z , J = a b r.

Если тело ограниченно эллипсоидом или эллипсоидом и эллиптическим конусом, то используют переход от прямоугольных координат к обобщенным сферическим координатам (, ,  и ).

Приложения тройного интеграла
(см. Примеры 16–17. Раздел «Типовые примеры и их решения»)

Вычисление объемов. Объем пространственного тела находится по формуле

. (59)

В цилиндрических координатах

. (60)

В сферических координатах

. (61)

Приложения в механике. Пусть V – область пространства, занимаемая каким-либо материальным телом с плоскостью m(x, y, z). Тогда:

а) масса этого тела m находится по формуле

; (62)

б) моменты инерции Ix, Iy, Iz относительно координатных осей 0x, 0y, 0z; Ixy, Ixz, Iyz относительно координатных плоскостей x0y, x0z, y0z; I0 относительно начала координат соответственно находятся

, (63)

, (64)

; (65)

, (66)

, (67)

; (68)

; (69)

в) координаты центра тяжести тела находятся по формулам:

, (70)

, (71)

. (72)

Для однородного тела (μ = const) эти формулы упрощаются, так как в этом случае можно считать, что μ = 1.

 

Определение первообразной и её свойства

Свойства неопределённого интеграла

Приближённое нахождение первообразных

Нахождение неопределённых интегралов Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований  

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Интеграл с переменным верхним пределом

Формула замены переменного в определённом интеграле Пример Вычислим интеграл

Свойства несобственных интегралов первого рода

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям Площадь области, лежащей между двумя графиками

Площадь поверхности вращения

Функции нескольких переменных и их дифференцирование Открытые и замкнутые области  

Частные производные высших порядков

Производные неявно заданной функции

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Градиент и производная по направлению Определение градиента и стационарных точек функции

Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

 

Порно Латинки по материалам pornosexrolik.com.
Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции