|
10.1. Расширение поля комплексных чисел. Исследование необходимых и достаточных условий расширения поля комплексных чисел.
Новая система чисел. Обоснование введения мнимых единиц и их взаимосвязь.
ТЕОРЕМА
Пространственное поле чисел представляется комплексом
,
где I,J –мнимые единицы (отличаются только обозначением) являются корнями уравнения 
,
произведение мнимых единиц обладает свойством коммутативности 
и является решением уравнения 
, а
сумма и разность мнимых единиц в произведении дают ноль. Скалярное
поле. Градиент. Производная по направлению Примеры решения и офомления задач
контрольной работы по высшей математике
Доказательство
Доказательство включает три основных положения: необходимость введения мнимой единицы J, которая отличается от мнимой единицы I только обозначением и является также решением квадратного уравнения 
; обосновать наличие нетривиального решения квадратного уравнения 
в виде произведения мнимых единиц и коммутативность этого произведения 
; исследование свойств делителей нуля и показ, что алгебраические операции над делителями нуля подчиняются законам алгебры действительных чисел.
Расширение поля действительных чисел происходит за счет присоединения к ним мнимой единицы I, которая не лежит на действительной оси и является решением квадратного уравнения
, так что имеем 
При этом квадратное уравнение разлагается на линейные множители
Если Х равен одному из корней, то один из множителей равен нулю. Это тривиальный результат. Любое другое значение Х не дает решение.
Однако до сих пор
Остается нерассмотренный вариант равенства нулю двух множителей не равных нулю
,
а в произведении дающих нуль. В этом случае имеем два несовместных уравнения ( одновременно не выполняются выражения), например
Это условие диктует введение второй мнимой единицы.
Поэтому вводится мнимая единица J, которая не лежит в действительных областях чисел X,Y и также как мнимая единица I является решением квадратного уравнения 
Таким образом, квадратное уравнение разлагается на линейные множители не равные нулю, но в произведении дающие ноль
Сомножители являются делителями нуля. Для того, чтобы пространственное число образовывало поле чисел необходимо также доказать, что делители нуля подчиняются законам алгебры действительных и комплексных чисел в смысле Коши.
Мнимые числа одновременно являются решением квадратного уравнения, как его корни, так и дают равенство его нулю при разложении на линейные множители, представляющие сумму и разность этих чисел. Таким образом, третье условие равенства нулю двух множителей, одновременно не равных нулю, а также наличие корня квадратного уравнения одновременно с этим условием обосновывает введение второй мнимой единицы.
Докажем второе положение. Во первых:
Действительные числа и мнимые единицы, которые также являются числами, подчиняются закону коммутативного умножения, так как в противном случае не будет выполняться третье условие равенства нулю двух множителей одновременно не равных нулю. Поэтому 
.
Можно записать
Четвертая единица 
делает алгебраическую систему замкнутой, не требуется введения новых мнимых единиц. При этом имеем 
.
Квадратное уравнение 
должно иметь решение, как в действительной области чисел, так и в пространстве. В плоском комплексном пространстве корень из +1 записывается в виде
Эта формула справедлива при условии, когда отсчет корней начинается от аргумента равного нулю. В тривиальном случае принимается любое число в нулевой степени равно единице, так что 
. Этот вариант извлечения корня требует уточнения.
|