ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Теорема 7. Пусть функция W=f(n ) имеет в точке n ₀ производную f’(n ₀), отличную от нуля и от корней из нуля, то есть . Тогда эта функция реализует в точке конформные отображения. Это значит, что при переходе из пространства (n ) в пространство (W) касательная к любой гладкой кривой в фиксированной точке n ₀ поворачивается на один и тот же угол в пространстве и имеет один и тот же коэффициент растяжения.

Доказательство. Пусть в некоторой области пространства (n )

задана функция , дифференцируемая в точке n ₀ и (неравна корням из нуля).

Рассмотрим уравнение гладкой кривой g в пространстве в виде n =S(t), где t - параметр, меняющийся вдоль этой кривой, проходящий через точку . Проведем касательную к этой кривой в точке n ₀. Положение касательной в пространстве (ее наклоны к координатным плоскостям) характеризуется углами f ₀, y ₀.

Пусть g ’ – образ этой кривой, полученный при отображении ,

иными словами

обозначим . Пусть

(1.67.)

Величину условимся называть комплексным углом поворота кривой g в точке n ₀ при отображении . Из формулы (1.64.) следует, что если то угол поворота в точке n ₀ не зависит от кривой и равен иначе говоря, все гладкие кривые, проходящие через точку n ₀ поворачиваются при отображении на один и тот же угол, равный аргументу производной в этой точке.

Замечание 2. В случае, если то имеем дело с четырехмерным пространством, доказательство в котором аналогично.

Замечание 3. Постоянство коэффициента растяжения в точке доказывается стандартным образом как и в случае z-плоскости. Он равен .

(1.68.)

где a, b, c, a - комплексные пространственные переменные

при

Если , то

существует при и

и функция определена в пространстве (w ).

В точке функция равна , а в точке ,

Таким образом, дробно-линейная функция осуществляет отображение пространства n на пространство w .

Функцию (1.65.) можно представить в виде

где r , f , y - действительные числа.

Если y - комплексное, то

Тогда и n ₂ будет иметь вид

Знаменатель

Итак, если , то

Таким образом лучи в пространстве (n ), идущие под углами f , y , поворачиваются и проходят под углами -f , -y .

Отображение обладает свойством инверсии (рис. 34.)

Для доказательства можно рассмотреть сечения плоскостями f =const и проекцию на плоскость (z).

Рис. 34. Инверсия точек в комплексном пространстве.

(1.69.)

где a, b - действительные числа.

Если a=z+js , то

Рассмотрим "сечения":

a) b =0, y =0, a=a₁,

б) при a=0, f =0, a=a₂, имеем

Замечание. Аналогично тому, как это сделано в [7] для плоского случая, можно показать, что подмножество дробно-линейных преобразований дающих отображение шара на себя, является множеством движений пространства Лобачевского (если шар с выколотой осью назвать пространством Лобачевского).

а также знаменатель B

C. Отображение верхнего полупространства на единичный шар. Функция (рис. 35)

где

отображает верхнее полупространство на внутреннюю область, ограниченную единичной сферой, причем точка w переходит на плоскости в точку

где a, b - любые действительные числа.

(1.70.)

где r , f действительные числа; y - комплексное.

Предположим, что n ₁ и n ₂ переходят в одну точку в пространстве (w )

В пространстве (n ) - это точки, лежащие внутри или вне сферы с выколотой осью.

Проведем последовательно сечения сферы плоскостями, параллельными плоскости (z). Это плоскости y =const. Сначала положим y =0, тогда

Это прежняя функция Жуковского в плоскости (z). На рис.36 представлено отображение, осуществляемое этой функцией. Поверхность сферы сжимается в круг с двойной границей, который по диаметру перерезает выколотая ось. Покажем, что кривые C₁, C₂, C₃, C_i при своем отображении не имеют точек пересечения в круге радиуса R=r получим комплекс

Если R₂=R₁, то одновременно должны выполняться два условия:

которые вытекали бы из равенства модулей комплексов. Но это не выполнимо. Аналогичная ситуация возникает, если предположить, что F₁=F₂ для этих кривых.

Таким образом, отображение плоскостей, секущих сферу, является однолистным. Выколотая ось также однозначно отображается в выколотую ось js .

Окружности радиуса корня из нуля отображаются в отрезки, дважды проходимые по линии Г₄ (рис. 36).

Рассмотрим в пространстве (n ) два касающихся изнутри в точке x=a шара (рис. 37). Функция Жуковского отображает поверхность большого шара на поверхность, напоминающую тело дельфина или фюзеляж самолета

Плоскость Q=0 переводит функцию в z - плоскость, так что получаем отображение контура в контур С₁, также лежащей в z -плоскости.

Если рассматривать отображение плоскости, заданной углами f =0, f =p , то получим контур С. Система этих контуров и задает отображение (рис. 37).

[Следующий параграф]