ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Продолжение 3 из 3. 1.7.3. Вычисление определенных двойных интегралов с помощью вычетов.

Вычислим ряд криволинейных интегралов. , где функцию возьмем последовательно равной . Раскладывая дробь на сумму простейших дробей относительно полюсов дроби в пространстве , будем иметь

,

где сумма после двух дробей учитывает полюса дроби , при равенстве знаменателя нулю в изолированном направлении . Корни знаменателя дроби ,являются полюсами функции подынтегрального выражения при условии если кривая натянута на поверхность , которая заключает в себе область со всеми точками, определяемыми в пространстве этими корнями. Функции регулярны в этих точках. Составим интеграл для первой функции , к интегралам можно применить формулу Коши

.

Вычисляем следующий интеграл для функции

Для функции имеем . Для функции .

Разложение подынтегральной функции на четыре дроби, две из которых представляют разложение по изолированному направлению в пространстве и дальнейшее вычисление интеграла показывают , что сумма первых двух интегралов от разложения равна сумме интегралов по изолированному направлению. Это в том случае, если область интегрирования , охватываемая пространственной кривой , содержит все пространственные полюса. Если область G заключена между поверхностями ,натянутыми на эквидестантные кривые , то для полюсов функции справедлива формула .

Применим эту формулу к расчету первого интеграла для различных областей . Предположим, что кривая натянута на поверхность сферы радиуса а кривая на поверхность сферы радиуса . В этом случае область G содержит две точки ,которые являются полюсами подынтегральной функции. Интеграл по кривой распадается на разность двух интегралов по кривой и кривой . Кривые подобны кривой

, Используя разложение подынтегральной функции на дроби в пространстве , получим выражение для суммы вычетов функции

Подставляя в интеграл, получим .

Если область G заключена между поверхностями , натянутыми на кривые , со сферическими радиусами соответственно , то подынтегральная функция будет иметь один полюс .Интеграл будет равен .

Произведем выделение первых мнимых и действительных частей в правой и левой части вычисленного интеграла. Предварительно проведем операции и введем обозначения для сокращения записи формул. ,где .

где

В этих обозначениях проведем выделение мнимой и действительной частей подынтегральной функции

. Подставим в исходный интеграл и приравняем правые и левые действительные и мнимые части

.

Определим проекцию интеграла по кривым на плоскость Z . В этом случае надо принять

. Проекция пространственного интеграла на плоскость Z равна

. При отображении область между двумя концентрическими сферами перейдет в область между двумя окружностями. Область будет содержать полюса функции в плоскости Z .Интеграл можно вычислить по формуле Коши.

.

Рассмотрим проекцию интеграла на изолированную ось ,которая также представляет комплексное плоское пространство. Проекция одновременно является мнимой частью пространственного интеграла

.

Комплексная ось имеет две изолированные точки . Если точки входят в область определения интеграла, то по интегральной формуле Коши его можно вычислить

. Мнимая часть от пространственного интеграла также равна этой величине. Результаты совпадают. Рассмотрим результаты вычислений проекций на комплексные плоскости Z,, через пространственный интеграл, и сравним их с вычислениями этих проекций в плоскостях для различных областей определения пространственного интеграла.

Область охватывает только одну изолированную точку . В этом случае

,

.

,

.

Если область определения интеграла включает в себя три изолированные точки , то имеем

В пункте 1.7.2 рассмотрена связь изолированных точек в пространстве на примере рис 32 и рис33. Изолированные точки проектируются особым образом в точки .Поверхность сферы , изолирующая особую точку в пространстве , разделяется на нижнюю и верхнюю полусферу . Соответственно этому ведут себя и пространственные кривые , окружающие эти точки. При проектировании на плоскость Z эти полусферы в зависимости от их расположения переходят в нижнюю или верхнюю полусферу точек , лежащих в этой плоскости. Этим объясняется расхождение результатов интегрирования в пространстве от вычислений интегралов от проекций подынтегральной функции на плоскости Z или .Решение квадратного уравнения в плоском пространстве не содержит пространственных корней , определяемых на основе существования делителей нуля. В то же время изоляция полюса окружностью малого радиуса в плоскости есть след третьей изолированной оси на плоскости .

Если функция представлена как частное от деления двух многочленов степени n и m,

, то для сходимости интеграла в плоскости Z необходимо, чтобы степень многочлена в знаменателе функции превышала степень многочлена числителя на две единицы

и функция может в пределе рассматриваться в виде

,, , где к-целое. В этом случае модуль при достаточно больших R.

,

где .

[Следующий параграф]