ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.7.2. Интеграл от рациональных функций.

Пусть , где и есть многочлены степени n и m соответственно

Сходимость интеграла от функции обеспечивается соотношением степеней многочленов как . В соответствии с пространственной комплексной алгеброй многочлен знаменателя разложим на произведение квадратных трехчленов, как минимальных по степени многочленов, содержащих два вида корней: два корня в плоскости (z) два корня в пространстве (.

При вычислении интегралов в пространстве необходимо соблюдать условия , которые обеспечивают эквивалентные разложения подынтегральной функции в области ее определения. Нахождение критических точек в пространстве зависит от области определения функции и возможности ее разложения на эквивалентные разложения. Например, если функция определена в полном пространстве , то можно не использовать эквивалентные разложения. Если функция определена только в верхнем или только в нижнем полупространстве то нет условий для эквивалентных разложений. В первом случае условия есть , но ими можно не пользоваться, во втором случае их вообще нельзя применить. Если из полного пространства вычтена плоскость Z, то критические точки определяются из условия существования делителей нуля. Возможно существование областей, в которых содержатся не все критические точки , характеризующие эквивалентные разложения.

Пример

Корни и лежат в плоскости (z),корни илежат в пространстве ( рис 32.

Разложение представлено произведением двух комплексных пространственных чисел. Радиусы этих чисел представлены корнем квадратным из исходного многочлена. Аргументы комплексов представлены функцией arctg от одинаковых комплексов. Если переменная u =1, то произведение состоит из двух множителей, модуль каждого из которых равен 2,а аргумент соответственно .Если переменная u равна соответственно корням многочлена u =-1 или u =3 то множители превращаются в делителей нуля.

Этот пример показывает, что изолированная ось делителей нуля смещается в точку .На изолированной оси в пространстве находятся пространственные корни многочлена u ₃ и u ₄,а также и точки u ₁ и u ₂.

Пример

Разложим функцию на дроби в пространстве

В пространстве нуль доставляется как произведением делителей нуля так и конкретно нулем. Поэтому при разложении по второму варианту в пространстве точки и дают нуль как произведение делителей и критические точки располагаются на изолированной оси. Это подтверждает разложение на сумму дробей. В знаменателе этого разложения нуль есть при и . При и знаменатели дробей не превращаются в нуль, поэтому рассматриваются эти точки как критические точки на изолированной оси. В этом случае имеем нуль как произведение делителей нуля.

Функция не регулярна в пространственных точках ,которые являются пространственными корнями квадратного трехчлена в соответствии с примером.

Изолирование точек и в пространстве происходит при окружении точек сферой , радиус которой стремится к нулю

Радиус R становится коэффициентом при сфере радиуса , аргументы и при этом в зависимости от знака изолированного направления описывает верхнюю или нижнюю половину сферы.Сфера из точек делителей нуля около точки , лежащей в верхней части полупространства состоит из двух полусфер. Нижняя полусфера делителей нуля определяется изоляцией точки из плоскости Z,верхняя полусфера определяется сферой делителей нуля изолированной точки , лежащей также в плоскости Z с поворотом по углу.

В нижнем полупространстве сфера из делителей нуля около точки образуется также из двух полусфер:верхняя полусфера образуется выделением точки ,нижняя полусфера выделением точки с поворотом по углу на .

Если точкаокружена сферой делителей нуля то при стремлении ,, то двигаясь по изолированному направлению получим точку .

Аналогично, если ,, то имеем:

Таким образом поверхность составленная из точек делителей нуля около пространственных точек, в которых функция теряет аналитичность стягивается в поверхность сферы внутри изолированной оси и происходит пространственная изоляция точек из плоскости Z . (рис 33)

где . Вычислим интеграл .

Определим .Подставляя в интеграл получим

Пределы интегрирования расставлены в соответствии с элементарной кривой в пространстве.

Вычислим интеграл

Элементарная площадка . Подставляя в интеграл выражение функции и элементарной площадки получим

.

Пределы интегрирования взяты из условия, что замкнутая поверхность натянута без точек

Самопересечения на пространственную кривую . Однако в сферических координатах необходимо ввести систему отсчета углов и по поверхности сферы ,без учета поверхности изолированной оси. В этом случае интеграл JJ будет вычисляться в следующих пределах

Расстановка пределов интегрирования определяется аргументом,так как он в зависимости от рассматриваемого пространства может быть действительным и комплексным в соответствии с (1.42)

[Следующий параграф]