ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.2.2.H. Функция аргумент n

Если имеем, то переходя к сферическим координатам получим

,где , , .

(1.40.)

Точка в пространстве определена модулем R и двумя аргументами или четырьмя независимыми переменнымиОднозначное определение точки в пространстве требует равенства четырех независимых переменных:когда

Функцию можно рассматривать как функцию двух комплексов

,

В этом случае функции где

Комплекс представляется в полярных комплексных координатах , где

Аргумент комплексный, а тригонометрические функции также будут комплексными.

Выведем формулу приращения комплексного аргумента на кривой . Определим дифференцеалы

так, что будем иметь, а с учетом тригонометрических функций получим

Рассмотрим интеграл Интеграл определяет разность значений аргумента между конечной и начальными точками на кривой .

.

В пространстве знаменатель подынтегральной функции имеет две особенности : 1) , что равносильно точки с ,фиксирующей начало координат ;

2) , раскрывая это соотношение между модулями комплексов и аргументами получим ,что соотношение выполняется при равенстве .

Полученные соотношения определяют изолированную ось в пространстве .Таким образом , выбрасывая из рассмотрения начало координат необходимо учитывать изолированную ось делителей нуля как особенность в пространстве .Область Д за вычетом этих особенностей является односвязной областью и для каждой кривой имеет место равенство

где и выполняется равенство

Таким образом , если кривые выходят из одной точки и приходят в одну точку ,оставаясь

В области определения, то имеет место равенство .Кривые можно непрерывно деформировать в пространстве .В комплексном пространстве аргументы

имеют комплексную периодичность , так что комплекс имеет вид

где к=0,1,2,….есть целое. Эта периодичность следует из закона извлечения квадратного корня из+1 в пространстве чисел и пространственной кривой

Рассмотрим комплексный аргумент как комплексную функцию в плоскости , где для удобства введены обозначения Функция является аналитической функцией в расширенной плоскости z с выколотыми точками ,которые являются логарифмическими точками ветвления .

.

Условия выделения изолированной оси или иначе говоря конуса делителей нуля выражаемые показывают, что в пространстве имеется логарифмическая ось ветвления. Произведем выделение действительной и мнимой части комплекса . Преобразуя Ln по законам комплексной алгебры Z получим

представляет сумму аргументов числителя и знаменателя

Комплексный аргумент

(1.41.)

При обходе цилиндрической оси комплексный аргумент имеет приращение только по действительной части. Мнимая часть представляет однозначную логарифмическую функцию, приращение которой дает нуль. В вершинах пространственной сферы при при любом r.

и любом r имеем . Действительная часть в вершинах сферы равна

(1.42.)

[Следующий параграф]