|
Характеристическая функция
Часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание.
В этом случае теорема Чебышева несколько упрощается:
Дробь, входящая в записанное выше выражение есть не что иное как среднее арифметическое возможных значений случайной величины. Теорема утверждает, что хотя каждое отдельное значение случайной величины может достаточно сильно отличаться от своего математического ожидания, но среднее арифметическое этих значений будет неограниченно приближаться к среднему арифметическому математических ожиданий. Отклоняясь от математического ожидания как в положительную так и в отрицательную сторону, от своего математического ожидания, в среднем арифметическом отклонения взаимно сокращаются. Таким образом, величина среднего арифметического значений случайной величины уже теряет характер случайности.
Теорема Бернулли. Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р. Возможно определить примерно относительную частоту появления события А.
Теорема. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления
события А постоянно, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что
отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет
сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико. 
Экстремумы
ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y)
имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность
точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y)
для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): 
. Примеры решения
и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Здесь т – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что
с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности
р, т.е. 
. В теореме имеется в виду
только вероятность приближения относительной частоты к вероятности появления
события А в каждом испытании. В случае, если вероятности появления события А
в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как
теорема Пуассона. Теорема. Если производится п независимых
опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении
п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей
рi. Предельные теоремы. Как уже говорилось, при достаточно большом количестве
испытаний, поставленных в одинаковых условиях, характеристики случайных событий
и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать
результаты наблюдений случайных событий для предсказания исхода того или иного
опыта. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответствие между
теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом
количестве испытаний. В рассмотренном выше законе больших чисел нечего не говорилось
о законе распределения случайных величин. Поставим задачу нахождения предельного
закона распределения суммы 
когда число слагаемых п неограниченно возрастает.
Эту задачу решает Центральная предельная теорема Ляпунова, которая была сформулирована
выше. В зависимости от условий распределения случайных величин Xi, образующих
сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы. Допустим,
что случайные величины Xi взаимно независимы и одинаково распределены.
[an error occurred while processing this directive]
Теорема. Если случайные величины Xi взаимно независимы и имеют один
и тот же закон распределения с математическим ожиданием т и дисперсией s2, причем существует третий абсолютный
момент n3, то при неограниченном увеличении числа испытаний п закон распределения
суммы неограниченно приближается к нормальному.
При доказательстве этой теоремы Ляпуновым использовались так называемые характеристические
функции.
Определение. Характеристической функцией случайной величины Х
называется функция 
эта функция представляет собой математическое
ожидание некоторой комплексной случайной величины 
, являющейся функцией от случайной величины
Х. При решении многих задач удобнее пользоваться характеристическими функциями,
а не законами распределения. Зная закон распределения, можно найти характеристическую
функцию по формуле (для непрерывных случайных величин): 
Как видим, данная формула представляет собой
не что иное, как преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно,
что с помощью обратного преобразования Фурье можно по характеристической функции
найти закон распределения. Введение характеристических функций позволяет упростить
операции с числовыми характеристиками случайных величин. В случае нормального
распределения характеристическая функция имеет вид: 
Сформулируем некоторые свойства характеристических
функций: 1) Если случайные величины Х и Y связаны соотношением 
где а – неслучайный множитель, то 
2) Характеристическая функция суммы независимых
случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. Случайные
величины Xi, рассмотренные в центральной предельной теореме, могут обладать
произвольными распределениями вероятностей. Если все эти случайные величины
одинаково распределены, дискретны и принимают только два возможных значения
0 или 1, то получается простейший случай центральной предельной теоремы, известный
как теорема Муавра – Лапласа.
Теорема. (Теорема Муавра – Лапласа) Если производится п независимых
опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любого
интервала (a, b) справедливо соотношение: 
где Y – число появлений события А в п опытах,
q = 1 – p, Ф(х) – функция Лапласа, 
- нормированная функция Лапласа . Теорема Муавра – Лапласа
описывает поведение биноминального распределения при больших значениях п. Данная
теорема позволяет существенно упростить вычисление по формуле биноминального
распределения. Расчет вероятности попадания значения случайной величины в заданный
интервал 
при больших значениях п крайне затруднителен. Гораздо
проще воспользоваться формулой: 
Теорема Муавра – Лапласа очень широко применяется при решении практических задач.
Пример. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.
В соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что отклонение
случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа
e, ограничена в соответствии с неравенством 
. Надо определить математическое
ожидание и дисперсию числа появления события А при одном опыте. Для события
А случайная величина может принимать одно из двух значений: 1- событие появилось,
0- событие не появилось. При этом вероятность значения 1 равна вероятности р=0,3,
а вероятность значения 0- равна вероятности ненаступления события А q=1 – p
=0,7. По определению математического ожидания имеем: 
Дисперсия: 
В случае п независимых испытаний получаем
Эти формулы уже упоминались выше. В нашем случае получаем:
Вероятность отклонения относительной частоты появления события А в п
испытаниях от вероятности на величину, не превышающую e=0,01 равна: 
Выражение полученное в результате этих простых
преобразований представляет собой не что иное, как вероятность отклонения числа
т появления события А от математического ожидания на величину не большую, чем
d=100. В соответствии с неравенством Чебышева эта вероятность будет не меньше,
чем величина 
[an error occurred while processing this directive]
Пример. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей
0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты
годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,98, не превысит 0,02.
Условие задачи фактически означает, что выполняется неравенство: 
Здесь п- число годных деталей, т- число проверенных
деталей. Для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное выражение:
После домножения выражения, стоящего в скобках,
на т получаем вероятность отклонения по модулю количества годных деталей от
своего математического ожидания, следовательно, можно применить неравенство
Чебышева, т.е. эта вероятность должна быть не меньше, чем величина 
,
а по условию задачи еще и не меньше, чем 0,96. Таким образом, получаем неравенство
. Как уже говорилось в предыдущей
задаче, дисперсия может быть найдена по формуле 
. Итого, получаем: 
Т.е. для выполнения требуемых условий необходимо
не менее 1225 деталей. Пример. Суточная потребность электроэнергии в населенном
пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000
кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие
сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.
Требуется найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
Крайние значения интервала отклоняются от
математического ожидания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда
можно записать с учетом неравенства Чебышева: 
Отсюда получаем: 
Т.е. искомая вероятность будет не меньше,
чем 0,99. Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых
случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная
величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего
арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3. Требуется найти
вероятность 
Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин имеет вид:
Если среднее квадратическое отклонение не превосходит 3, то, очевидно,
дисперсия не превосходит 9. Величина e по условию задачи равна 0,3. Тогда 
. Отсюда получаем при n=2500: 
Пример. Выборочным путем требуется определить
среднюю длину изготавливаемых деталей. Сколько нужно исследовать деталей, чтобы
с вероятностью, большей чем 0,9, можно было утверждать, что средняя длина отобранных
изделий будет отличаться от математического ожидания этого среднего (средняя
длина деталей всей партии) не более, чем на 0,001 см.? Установлено, что среднее
квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,04 см. По условию если
среднее квадратическое отклонение не превышает 0,04, то дисперсия, очевидно,
не превышает (0,04)2. Также по условию задано, что 
Если преобразовать соотношение, стоящее в
скобках и после этого применить неравенство Чебышева, получаем: 
Т.е. для достижения требуемой вероятности
необходимо отобрать более 16000 деталей. Описанный подход, как видно, позволяет
решить множество чисто практических задач. Пример. Вероятность того, что наудачу
выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна
0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наугад выбранных деталей бракованных
окажется не менее 6. Для того, чтобы воспользоваться теоремой Муавра - Лапласа
найдем математическое ожидание и дисперсию количества бракованных деталей в
50 – ти отобранных: 
Фактически в задаче требуется определить вероятность
того, что бракованных деталей будет не менее шести, но и, очевидно, не более
50- ти. 
Значения функции Лапласа находятся по таблице.
Конечно, значения функции Лапласа Ф(10) в таблице нет, но т.к. в таблицах указано,
что Ф(3)=1,0000, то все значения от величин, превышающих 3 также равны 1
Пример. Известно, что 60% всего числа изготавливаемых
заводом изделий являются изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся
200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется из от 120 до
150 изделий первого сорта? Вероятность того, что деталь окажется первого сорта,
равна, очевидно, 0,6. Математическое ожидание числа изделий первого сорта равно:
По теореме Муавра - Лапласа получаем: 
Пример. Проверкой установлено, что 96% изделий служат
не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 изделий. Найти вероятность
того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 изделий.
Вероятность того, что срок службы изделия будет менее гарантированного равна:
1 – 0,96 = 0,04 Математическое ожидание числа таких изделий равно 
По теореме Муавра - Лапласа
получаем: 
Теория массового обслуживанияСлучайные процессы.
Система массового обслуживания состоит из некоторого
числа обслуживающих единиц или каналов, работа которых состоит в выполнении
поступающих по этим каналам заявок. Примеры систем массового обслуживания
весьма распространены на практике. Это различные телефонные станции, ремонтные
мастерские и проч. Вид и количество поступающих на эти системы заявок различны
и, вообще говоря, случайны. Теория массового обслуживания описывает закономерности
функционирования таких систем. Определение. процесс функционирования
системы массового обслуживания называется случайным процессом.
Чтобы оптимизировать процесс функционирования системы массового обслуживания
его надо изучить и описать математически. Теория массового обслуживания является
очень быстро развивающимся разделом теории вероятностей, т.к. ее применение
на практике чрезвычайно широко. Случайный процесс, протекающий в системе массового
обслуживания состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит
из одного состояния в другое. Меняется число заявок, число занятых каналов,
число заявок в очереди и проч. Определение. Если переход системы из одного
состояния в другое происходит скачком, а количество состояний системы (конечное
или бесконечное) можно пронумеровать, то такая система называется системой
дискретного типа. Если количество возможных состояний счетно, то сумма вероятностей
нахождения системы в одном из состояний равна 1. 
Совокупность вероятностей pk(t) для каждого
момента времени характеризует данное сечение случайного процесса. Случайные
процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: c дискретным
или непрерывным временем. Если переходы системы из одного состояния
в другое могут происходить только в строго определенные моменты времени, то
случайный процесс будет процессом с дискретным временем, а если переход возможен
в любой момент времени, то процесс будет процессом с непрерывным временем. Поскольку
в реальности заявки на систему массового обслуживания могут поступать в любой
момент времени, то большинство реальных систем массового обслуживания будут
системами с процессом с непрерывным временем. Для того, чтобы описать случайный
процесс в системе с непрерывным временем необходимо прежде всего проанализировать
причины, вызывающие изменение состояния системы. Эти причины определяются потоком
заявок, поступающих на систему.
Поток событий.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Потоком событий называется последовательность событий, происходящих один за другим в какие- то моменты времени. Характер событий, образующих поток может быть различным, а если события отличаются друг от друга только моментом времени, в который они происходят, то такой поток событий называется однородным. Однородный поток можно изобразить последовательностью точек на оси, соответствующей времени: t1 t2 tnt Определение. Поток событий называется регулярным, если события следует одно за другим через строго определенные промежутки времени. Определение. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того ли иного числа событий на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок. Стационарность потока событий означает, что плотность потока постоянна, отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно. Классический пример – “час пик” на транспорте.
Определение. Поток событий называется потоком без последействий, если для любых неперекрещивающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, опадающих на другие. Отсутствие последействий означает, что заявки в систему поступают независимо друг от друга. Поток выходных событий систем массового обслуживания обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Пример – вход пассажиров на станцию метро – поток без последействия, т.к. причины прихода отдельного пассажира не связаны с причинами прихода всех остальных, а выход пассажиров со станции – поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда. Последействие, свойственное выходному потоку следует учитывать, если этот поток в свою очередь является входным для какой- либо другой системы.
Определение. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок Dt двух или более событий достаточно мало по сравнению с вероятностью попадания одного события. Условие ординарности означает, что заявки на систему приходят по одному, а не парами, тройками и т.д. Однако, если заявки поступают только парами, только тройками и т.д., то такой поток легко свести к ординарному.
Определение. Если поток событий стационарен,
ординарен и без последействий, то такой поток называется простейшим (пуассоновским)
потоком. Это название связано с тем, что в этом случае число событий, попадающих
на любой фиксированный интервал времени, распределено по распределению Пуассона
. В соответствии с этим законом распределения математическое ожидание числа
точек, попавших попадающих на участок времени t, имеет вид: 
l - плотность потока – среднее число событий
в единицу времени. Вероятность того, что за время t произойдет ровно т событий,
равна
Вероятность того, что в течение данного времени
не произойдет ни одного события, равна: 
Пусть Т – промежуток времени между двумя произвольными
соседними событиями в простейшем потоке. Найдем функцию распределения 
В соответствии с законом распределения Пуассона,
получаем:
Математическое ожидание, дисперсия и среднее
квадратическое отклонение этой величины соответственно равны: 
Таким образом, для величины Т получили показательный
закон распределения.
ЛЕКЦИЯ 7.
Пример. В бюро обслуживания в среднем поступает 12
заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того,
что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа, б) за 10 минут поступит не
более трех заказов. Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив
ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна 
. Далее находим вероятность
того, что за время t = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле: 
Вероятность того, что за 10 минут поступит
не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит
ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа. 
Пример. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей
в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается
в 11.00, определите: а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей
при условии, что в 11.07 их было 18 б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30
в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель
прибыл в 11.25. Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность
того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (t = 5 минут) придет ровно 2 посетителя.
При этом мы знаем интенсивность потока посетителей - l = 20/60 = 1/3 посетителей
в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т.к. посетители
не могут приходить по частям. Искомая вероятность равна: 
Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не
сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30,
главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна 
. Здесь Р0 (2) – вероятность того,
что в этом промежутке не будет ни одного посетителя. Если поток событий нестационарен,
то его плотность l уже не является постоянной величиной, а зависит от времени.
Определение. Мгновенной плотностью потока событий называется предел
отношения среднего числа событий, приходящегося на элементарный отрезок времени
(t, t + Dt), к длине этого участка, которая стремиться к нулю.
Как видно из приведенного определения, с учетом
того, что среднее число событий на участке времени равно математическому ожиданию,
то можно сказать, что мгновенная плотность потока равна производной по времени
от математического ожидания числа событий на участке (0, t).
Определение. Нестационарным пуассоновским потоком
называется ординарный поток однородных событий без последействий с переменной
плотностью l(t). Для такого потока число событий, попадающих на участок длины
t, начинающийся в точке t0, подчиняется закону Пуассона: 
Здесь а – математическое ожидание числа событий
на участке от t0 доt + t0 . Оно вычисляется по формуле: 
Величина а на только от длины участка t, но
и от его положения во времени. Закон распределения промежутка Т между двумя
соседними событиями также будет зависеть от того, где на временной оси расположено
первое из событий, а также от функции l(t) . Вероятность того, что на участке
времени от t0 до t + t0 не появится ни одного события, равна 
Тогда, соответственно, вероятность появления
хотя бы одного события на этом интервале времени будет равна: 
Плотность распределения можно найти дифференцированием:
Эта плотность распределения уже не будет показательной.
Она зависит от параметра t0 и вида функции l(t). Однако, условие отсутствия
последействия в этом виде потока сохраняется.
Поток Пальма. Поток Пальма еще называют потоком с ограниченным последействием. Определение. Потоком Пальма называется ординарный поток однородных событий, если промежутки между событиями Т1, Т2, … представляют собой независимые случайные величины. Если промежутки времени Т1, Т2, … распределены по показательному закону, то поток Пальма становится простейшим потоком. Примером потока Пальма может служить движение колонны автомобилей. Пусть движется колонна автомобилей, каждый из которых, двигаясь с одинаковой скоростью, стремится держаться на некотором заданном расстоянии от впереди идущего автомобиля. Однако, вследствие воздействия множества случайных факторов, это расстояние выдерживается не точно. Тогда времена пересечения каждым автомобилем определенного рубежа Т1, Т2, … будут независимыми случайными величинами и образуют по ток Пальма. Отметим, что если автомобили будут стремиться выдерживать заданное расстояние не от соседней машины, а от головной, то моменты пересечения этого рубежа уже не будут образовывать поток Пальма. Поток Пальма часто получается в качестве выходного потока систем массового обслуживания. Теорема. (Теорема Пальма) Пусть на систему массового обслуживания поступает поток заявок типа Пальма, причем заявка, заставшая все каналы занятыми, получает отказ (не обслуживается). Если при этом время обслуживания имеет показательный закон распределения, то поток не обслуженных заявок является также потоком типа Пальма. Этот факт важен, так как на практике получившие отказ заявки обычно перенаправляются на другую систему массового обслуживания, т.е. образуют для этой системы входной поток. Так, если на систему массового обслуживания поступает простейший входной поток, то поток заявок, получивших отказ, уже не будет простейшим, однако, будет потоком с ограниченным последействием.
Потоки Эрланга. Потоки Эрланга также являются потоками с ограниченным последействием. Они образуются просеиванием простейшего потока. Суть этого просеивания состоит в следующем. Если изобразить на временной оси простейший поток, поставив в соответствие каждому событию некоторую точку, и выбросить из потока каждую вторую точку, то получим поток Эрланга первого порядка. Оставив каждую третью точку и выбросив две промежуточные, получаем поток Эрланга второго порядка и т.д.
[an error occurred while processing this directive]
Определение. Потоком Эрланга k
– порядка называется поток, получаемый из простейшего, если сохранить
в простейшем потоке каждую (k + 1) – ю точку, а остальные выбросить. Очевидно,
что простейший поток может рассматриваться как поток Эрланга нулевого порядка.
Пусть имеется простейший поток с интервалами Т1, Т2, … между событиями. Величина
Т – промежуток времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k –
го порядка. Очевидно, что 
. Так как первоначальный поток – простейший,
то случайные величины Т1, Т2, … распределены по показательному закону: 
Обозначим fk(t) плотность распределения величины
Т для потока Эрланга k – го порядка. Если умножить эту плотность на элементарный
отрезок времени dt, мы получим вероятность того, что величина Т примет значение
в некоторой сколь угодно малой окрестности точки t- (t, t + dt). На этот участок
должна попасть конечная точка промежутка, а предыдущие k точек простейшего потока
– на промежуток (0, t). Вероятность первого события равна 
, а второго - 
. Эти события должны осуществиться
совместно, значит, их вероятности надо перемножить. 
Полученный закон распределения называется
законом распределением Эрланга k- го порядка. При k = 0 получаем показательный
закон распределения. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение для распределения Эрланга находятся по формулам:
Плотность потока Эрланга равна 
Для промежутка времени между двумя соседними
событиями в потоке Т рассмотрим нормированную величину 
. Такой поток будет называться
нормированным потоком Эрланга. Закон распределения для такого потока
будет иметь вид: 
, 
Математическое ожидание и дисперсия будут равны: 
Получается, что неограниченном увеличении
k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными
интервалами, равными 
. Изменение порядка нормированного
потока Эрланга позволяет получить различную степень последействия. Последействие
возрастает с увеличением k. На практике это удобно для приближенного представления
реального потока с каким – либо последействием потоком Эрланга. При этом порядок
этого потока определяется из того соображения, чтобы характеристики потока Эрланга
(математическое ожидание и дисперсия) совпадали с характеристиками исходного
потока.
Цепи Маркова.
(Андрей Андреевич Марков (1856-1922) – русский математик, академик)
Определение. Процесс, протекающий в физической
системе, называется марковским, если в любой момент времени вероятность
любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в текущий
момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Определение.
Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых
появляется только одно из k несовместных событий Ai из полной группы. При этом
условная вероятность pij(s) того, что в s –ом испытании наступит событие Aj
при условии, что в (s – 1) – ом испытании наступило событие Ai, не зависит от
результатов предшествующих испытаний. Независимые испытания являются частным
случаем цепи Маркова. События называются состояниями системы, а испытания
– изменениями состояний системы. По характеру изменений состояний цепи
Маркова можно разделить на две группы. Определение. Цепью Маркова
с дискретным временем называется цепь, изменение состояний которой происходит
в определенные фиксированные моменты времени. Цепью Маркова с непрерывным
временем называется цепь, изменение состояний которой возможно в любые случайные
моменты времени. Определение. Однородной называется цепь Маркова,
если условная вероятность pij перехода системы из состояния i в состояние j
не зависит от номера испытания. Вероятность pij называется переходной вероятностью.
Допустим, число состояний конечно и равно k. Тогда матрица, составленная из
условных вероятностей перехода будет иметь вид: 
Эта матрица называется матрицей перехода системы.
Т.к. в каждой строке содержаться вероятности событий, которые образуют полную
группу, то, очевидно, что сумма элементов каждой строки матрицы равна единице.
На основе матрицы перехода системы можно построить так называемый граф состояний
системы, его еще называют размеченный граф состояний. Это
удобно для наглядного представления цепи. Порядок построения граф рассмотрим
на примере. Пример. По заданной матрице перехода построить граф состояний. 
Т.к. матрица четвертого порядка, то, соответственно,
система имеет 4 возможных состояния. 
S1 0,2 0,7 S2 0,4 S4 0,6 0,5 0,1
0,5 S3 На графе не отмечаются вероятности перехода системы из одного состояния
в то же самое. При рассмотрении конкретных систем удобно сначала построить граф
состояний, затем определить вероятность переходов системы из одного состояния
в то же самое (исходя из требования равенства единице суммы элементов строк
матрицы), а потом составить матрицу переходов системы. Пусть Pij(n) – вероятность
того, что в результате n испытаний система перейдет из состояния i в состояние
j, r – некоторое промежуточное состояние между состояниями i и j. Вероятности
перехода из одного состояния в другое pij(1) = pij. Тогда вероятность Pij(n)
может быть найдена по формуле, называемой равенством Маркова:
Здесь т – число шагов (испытаний), за которое
система перешла из состояния i в состояние r. В принципе, равенство Маркова
есть ни что иное как несколько видоизменная формула полной вероятности. Зная
переходные вероятности (т.е. зная матрицу перехода Р1), можно найти вероятности
перехода из состояния в состояние за два шага Pij(2), т.е. матрицу Р2, зная
ее – найти матрицу Р3, и т.д. Непосредственное применений полученной выше формулы
не очень удобно, поэтому, можно воспользоваться приемами матричного исчисления
(ведь эта формула по сути – не что иное как формула перемножения двух матриц).
Тогда в общем виде можно записать: 
Вообще то этот факт обычно формулируется в
виде теоремы, однако, ее доказательство достаточно простое, поэтому приводить
его не буду.
Пример. Задана матрица переходов Р1. Найти матрицу
Р3. 
Определение. Матрицы, суммы элементов
всех строк которых равны единице, называются стохастическими. Если при
некотором п все элементы матрицы Рп не равны нулю, то такая матрица
переходов называется регулярной. Другими словами, регулярные матрицы
переходов задают цепь Маркова, в которой каждое состояние может быть достигнуто
через п шагов из любого состояния. Такие цепи Маркова также называются регулярными.
Теорема. (теорема о предельных вероятностях) Пусть дана регулярная цепь
Маркова с п состояниями и Р – ее матрица вероятностей перехода. Тогда существует
предел 
и матрица Р(¥)
имеет вид: 
Т.е. матрица состоит из одинаковых строк.
Теперь о величинах ui. Числа u1, u2, …, un называются предельными вероятностями.
Эти вероятности не зависят от исходного состояния системы и являются компонентами
собственного вектора матрицы РТ (транспонированной к матрице Р).
Этот вектор полностью определяется из условий:
Пример. Найдем предельные вероятности для
рассмотренного выше примера. 
C учетом того, что u1 +
u2 = 1, получаем: 
Получаем: 
Процесс гибели – размножения и циклический процесс.
Определение. Марковский процесс с дискретными состояниями называют процессом гибели – размножения, если он имеет размеченный граф состояний следующего вида: l12 l23 ln-2,n-1 ln-1,n S1 S2 Sn-1 Sn l21 l32 ln-1,n-2 ln,n-1 Т.е. каждое из состояний системы связано с двумя соседними состояниями прямой и обратной связью, крайние состояния имеют только по одному соседнему. Здесь lij – плотность вероятности перехода системы из состояния Si в состояние Sj в момент времени t. Эта плотность находится по формуле:
Dt – время перехода из одного состояния в
другое.
|